¿La resolución de Aristóteles de las paradojas de Zenón está justificada por el movimiento en el continuo intuicionista?

Hay varias nociones de continuo intuicionista, las más cercanas a las de Aristóteles son el "continuo fluido" de Brouwer, y especialmente la versión tardía de Weyl desde On the New Foundational Crisis of Mathematics (1921). Sin embargo, debemos tener en cuenta que Brouwer y Weyl recibieron su punto de vista a través de un importante intermediario, Kant. Aunque las descripciones de Aristóteles y Kant del movimiento y el continuo a veces son indistinguibles fenomenológicamente, lo que era realidad objetiva para Aristóteles era solo una forma fenoménica de percepción para Kant. Pero todos ellos sí compartían la premisa más básica: el continuo se da como un todo, se le imponen puntos y partes.

Weyl hace sugerencias sobre la realización matemática de su continuo fluido y Brouwer construyó una teoría completa de su algo "menos" fluido, pero comenta con pesimismo que "la inaplicabilidad de las leyes simples de la lógica clásica eventualmente resulta en una incomodidad casi insoportable". cuanto más nos acercamos al continuo intuitivo, menos aceptable se vuelve matemáticamente. El continuo predicativo del Weyl temprano, desarrollado por Feferman y aplicado a la física por Field, es incluso menos fluido, pero demostró ser suficiente para toda la física clásica al menos. En su tiempo, Aristóteles podía permitirse el lujo de ser optimista, ya que se encuentra la misma concepción de “magnitud fluida” en su Física, como en los Elementos de Euclides. En nuestro tiempo, el intuicionismo solo podía construir una cadena de continuos que mediaran entre la intuición filosófica y la física matemática.

Weyl concluye que existe una división entre la teoría matemática y la percepción filosófica de nuestra experiencia, del tiempo y el movimiento en particular, lo que parece hacer eco de la "respuesta a la pregunta" de Aristóteles frente a la "respuesta a los hechos reales del asunto". Pero va más allá sugiriendo que no se puede salvar, lo que implica que el desafío de Zeno debe obtener diferentes respuestas en diferentes terrenos:”si el discernimiento fenoménico se denomina conocimiento, entonces el teórico se basa en la creencia... Pero, ¿dónde está ese mundo trascendente llevado por la creencia, al que se dirigen sus símbolos? No lo encuentro, a menos que fusione completamente las matemáticas con la física y asuma que los conceptos matemáticos de número, función, etc. (o los símbolos de Hilbert), generalmente participan en la construcción teórica de la realidad de la misma manera que los conceptos de energía, gravitación, electrón, etc. ”

Tieszen ofrece una buena revisión del continuo fluido de Weyl en Philosophical Background of Weyl's Mathematical Constructivism , también suyo con los coautores Brouwer y Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuum lo compara con el de Brouwer.

PS En On the New Foundational Crisis of Mathematics (1921), Weyl escribió: “ un conjunto de puntos individuales es, por así decirlo, seleccionado de la pasta fluida del continuo. El continuo se descompone en elementos aislados, y el fluir entre sí de sus partes se reemplaza por ciertas relaciones conceptuales entre estos elementos, basadas en la relación "más grande-más pequeño". Por eso hablo de una concepción atomista del continuo ”. Weyl habla aquí de puntos "seleccionados" aritméticamente, como en la concepción clásica o en su anterior concepción constructivista.

Para abordar el continuo fluido necesitamos cometer el “segundo acto de intuicionismo” de Brouwer e introducir secuencias de elección sin ley que reflejen la fluidez del continuo intuitivo. En Philosophy of Mathematics and Natural Science (1949) Weyl explica: “ la noción de secuencia cambia de significado: ya no significa una secuencia determinada por una u otra ley, sino más bien una que se crea paso a paso mediante actos libres de elección, y así permanece in statu nascendi. Esta secuencia selectiva "devenir" representa el continuo, o la variable, mientras que la secuencia determinada ad infinitum por una ley representa el número real individual que cae en el continuo. El continuo ya no aparece, para usar el lenguaje de Leibniz, como un agregado de elementos fijos, sino como un medio de "devenir" libre.”. Así es como los puntos intuicionistas solo existen "potencialmente", en opinión de Weyl, a diferencia de Brouwer, los puntos en la parte sin ley del continuo ni siquiera pueden individualizarse.

Creo que la solución no tiene mucho que ver con el continuo intuicionista. Más bien, hay dos consideraciones.

En primer lugar, el mero hecho de que un continuo pueda dividirse arbitrariamente con precisión no implica que la medida apropiada de cuánto tiempo llevará cruzar una región en particular sea infinita. Que el tiempo necesario para atravesar una región sea finito o no depende de qué medida de tiempo respeten las leyes de la física. El hecho de que te puedas imaginar midiendo el espacio en cuestión de otra forma no tiene nada que ver.

En segundo lugar, las leyes reales de la física no permiten que el espacio y el tiempo se dividan finamente de manera arbitraria. En cualquier región finita que contenga una cantidad finita de energía, hay un número finito de estados posibles. Ese número suele ser extremadamente grande para los estándares de la vida cotidiana, pero es finito: el límite de Bekenstein . Lo que cambia continuamente es la probabilidad de cualquier estado dado.

@conifold- Aquí hay una respuesta de Spinoza a una pregunta que se parece tangencialmente a la de aquí. Se trata de ideas que parecen no tener referencia en la realidad, en este caso una serie de rectángulos que pueden ser 'representados' o imaginados en el ojo de la mente pero que no tienen existencia. No estoy seguro de poder entender esto en tiempo real, cualquier pensamiento. Saludos, Charles M Saunders

Prop. VIII. Las ideas de las cosas particulares, o de los modos, que no existen, deben estar comprendidas en la idea infinita de Dios, del mismo modo que las esencias formales de las cosas particulares o de los modos están contenidas en los atributos de Dios. Prueba.—Esta proposición es evidente desde la última; se entiende más claramente de la nota precedente.

Corolario. Por tanto, en tanto que las cosas particulares no existen sino en cuanto están comprendidas en los atributos de Dios, sus representaciones en el pensamiento o en las ideas no existen sino en cuanto existe la idea infinita de Dios; y cuando se dice que existen cosas particulares, no sólo en cuanto que están implicadas en los atributos de Dios, sino también en cuanto que se dice que continúan, sus ideas implicarán también la existencia, por la cual se dice que continúan .

Nota.—Si alguno quiere un ejemplo para arrojar más luz sobre esta cuestión, me temo que no podré darle ninguno que explique adecuadamente la cosa de que aquí hablo, por cuanto es única; sin embargo, intentaré ilustrarlo en la medida de lo posible. La naturaleza de un círculo es tal que si un número cualquiera de líneas rectas se cortan en él, los rectángulos formados por sus segmentos serán iguales entre sí; así, infinitos rectángulos iguales están contenidos en un círculo. Sin embargo, no se puede decir que ninguno de estos rectángulos exista, excepto en la medida en que existe el círculo; ni puede decirse que exista la idea de ninguno de estos rectángulos, excepto en la medida en que están comprendidos en la idea del círculo. Concedamos que, de este número infinito de rectángulos, sólo existan dos. Las ideas de estos dos no sólo existen, en cuanto están contenidos en la idea del círculo, pero también en cuanto implican la existencia de esos rectángulos; por lo que se distinguen de las ideas restantes de los rectángulos restantes.

Prop. IX. La idea de una cosa individual existente en acto es causada por Dios, no en cuanto es infinito, sino en cuanto se le considera afectado por otra idea de una cosa existente en acto, de la cual él es la causa.