Creo que estoy llegando a una buena y nueva comprensión de la relación de las matemáticas puras con las ciencias naturales. Una de mis principales preocupaciones es cuán confiable es la matemática rigurosa (característicamente "pura") para aplicaciones en las ciencias naturales.
Una epifanía muy notable que encontré recientemente está relacionada con el comentario de Oystein Ore sobre cómo las matemáticas han tenido una gran historia en forma de "rompecabezas" con fines puramente de entretenimiento. [ Teoría de números y su historia por Oystein Ore (Profesor Sterling de Matemáticas, Universidad de Yale (McGraw-Hill, 1948), págs. 25-26]
Esto me lleva a creer, y a aceptar mucho más fácilmente, la idea de que, culturalmente, la principal motivación de las matemáticas puras modernas es simplemente el entretenimiento como una especie de juego y no para aplicaciones en las ciencias naturales.
De hecho, parece que los profesores de matemáticas de las grandes universidades desdeñan el hecho de tener que impartir cursos de matemáticas para físicos e ingenieros. Y del mismo modo, parece que los libros de texto de física a menudo se preocupan muy poco por el rigor matemático. En general, parece que los físicos se preocupan más por llegar a hipótesis o teorías estándar comprobables físicamente que por cómo llegaron a esas hipótesis. Pero los físicos se involucrarán en el rigor matemático si dicho rigor está al alcance de la mano.
He visto alguna literatura que intenta algún tipo de desarrollo axiomático de una u otra teoría física. Pero parece que no ha habido mucho interés en esta idea. Sin embargo, la geometría euclidiana se erige como un ejemplo de la idea de usar argumentos rigurosos para desarrollar teoremas del "mundo real" empíricamente comprobables.
Una motivación clave es la esperanza y la hipótesis de que una teoría matemáticamente más rigurosa creará conclusiones mucho más confiables de una naturaleza físicamente comprobable, de modo que haya una carga mucho menor sobre la necesidad de pruebas experimentales de conclusiones (a menudo bastante costosas). Pero, ¿está justificada esta esperanza e hipótesis? Estoy pensando en particular aquí en lo que parece un excelente libro de texto avanzado en mecánica clásica que, sin embargo, parece tener algunos defectos u omisiones en el rigor: HC Corben y Philip Stehle: Classical Mechanics , 2nd Ed. (Dover, 1977). ¿Qué importancia tiene tal rigor matemático desde el punto de vista de la metodología científica?
Parece probable una teoría ampliada, avanzada y bien desarrollada de la relación del rigor matemático con la complejidad y los costos de las pruebas experimentales, pero parece que las preguntas básicas aquí deben abordarse antes de correr sobre colinas y valles en el desarrollo de expansivas, potencialmente. teorías tenues.
Entonces, cuando se trata de la aplicabilidad de las matemáticas rigurosamente derivadas a, digamos, la física, la idea parece ser simplemente "jugar con eso" y ver si se puede llegar a algún tipo de hipótesis comprobables e interesantes. Parece que culturalmente hay muy poca motivación para pensar que el rigor en la teoría matemática pura tiene alguna relación con el desarrollo de hipótesis buenas y comprobables en física.
Ese parece ser un hecho actual de la vida cultural sobre la relación del rigor matemático con la credibilidad o plausibilidad de las hipótesis físicas que pueden resultar de un tratamiento tan riguroso.
¿Alguien puede proporcionar más información sobre este asunto o ayudar a corregir cualquier concepto erróneo que pueda tener al respecto?
Lo que se describe en el OP se aplica al lado de las matemáticas que Quine llamó "recreativo". Pero hay otro lado, que todavía cubre mucho de las matemáticas "puras", que está mucho más ligado a las ciencias empíricas. Aproximadamente, este es el lado que proporciona "ayudas de representación" para modelar en ciencias. Dado que no sabemos de antemano qué dispositivos de modelado serán útiles en el futuro, el "juego libre" también es crucial para el éxito de este lado. Aquí está la respuesta de Quine a Parsons (1986) , donde clasifica las matemáticas en aplicadas, su "redondeo" y "recreación":
" Las matemáticas puras, en mi opinión, están firmemente arraigadas como parte integral de nuestro sistema del mundo. Por lo tanto, mi visión de las matemáticas puras está orientada estrictamente a la aplicación en la ciencia empírica. Parsons ha señalado, en contra de esta actitud, que las matemáticas puras exceden extravagantemente las necesidades de la aplicación. De hecho, lo hace, pero veo estos excesos como una cuestión simplista de redondeo. Ya tenemos un ejemplo modesto del proceso en los números irracionales: ninguna medida podría ser demasiado precisa para ser acomodada por un número racional, pero admitimos los extras para simplificar nuestros cálculos y generalizaciones.
La teoría de conjuntos superiores es más de lo mismo. Reconozco innumerables infinitos sólo porque me los imponen las más sencillas sistematizaciones conocidas de asuntos más bienvenidos. Las magnitudes que exceden tales exigencias, por ejemplo, בω o números inaccesibles, las considero solo como una recreación matemática y sin derechos ontológicos. Los conjuntos que son compatibles con 'V = L' en el sentido de la monografía de Gödel ofrecen un corte conveniente. "
Hay una vasta literatura sobre esto bajo el título del argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam.en cuanto a qué parte de las matemáticas es lo suficientemente indispensable para heredar los "derechos ontológicos" de las teorías empíricas a las que sirve (y, por lo tanto, cuenta como "redondeo"). Sobre este tema, el minimalismo austero de Quine, y su corte en V=L en particular, ha sido objeto de fuertes críticas, incluso de sus propios alumnos, Parsons y Maddy. Maddy, por ejemplo, defiende la maximización de las entidades matemáticas como la actitud más pragmática, dado el papel de las matemáticas en la ciencia, en lugar de la minimización de Quine. Y la ruptura de su conexión entre la indispensabilidad y el platonismo acerca de las entidades matemáticas es ahora la opinión dominante: las ayudas de representación pueden ser indispensables sin conferir ningún sentido de existencia real a las entidades que postulan.
Esto explica la indiferencia (a veces incluso el desdén) de muchos matemáticos por cualquier aplicación particular de las matemáticas que hacen a asuntos prácticos. Si el punto es maximizar los dispositivos de representación, poco importa si ya se les dio algún uso o todavía no. La historia del rigor también encaja en esta imagen. Si el desarrollo de las matemáticas no está directamente controlado por la aplicabilidad empírica, contra Quine, uno necesita controles separados para limitar la acumulación de errores, la formalización y el rigor son solo eso. Por otro lado, en los dominios aplicados, donde las tonterías matemáticas probablemente conducirán a un desajuste empírico, y rápidamente, uno puede darse el lujo de ser laxo, o esa es la actitud común. Esto lo confirma el fenómeno de la teoría de cuerdas, que actualmente está aislada de las pruebas empíricas.La Medalla Fields de Witten es un reconocimiento temprano de eso, al igual que el trabajo reciente de Vafa .
Leng en ¿Qué tiene de malo la indispensabilidad? incluso argumenta que, en el sentido de Quine, toda la matemática es "recreativa", pero eso no significa que sea solo "entretenimiento", o que esté desligada de la realidad:
" Estas observaciones conducen naturalmente a una comprensión de la relación entre las matemáticas y la ciencia en las que las áreas de las matemáticas se utilizan para modelar los fenómenos físicos... Si Colyvan tiene razón (y creo que la tiene) en que las matemáticas que la ciencia no supone son true debe verse como recreativa (y se le otorga un estatus importante como tal), entonces se deduce de la imagen de modelado de la relación entre las matemáticas y la ciencia que todas las matemáticas son recreativas.
El éxito de este modelado no debería ser una verdadera sorpresa: muchas de las historias matemáticas que creamos se crean con interpretaciones científicas en mente. La geometría euclidiana se entiende mejor como una historia matemática cuyos axiomas estaban destinados a modelar verdades sobre el espacio físico. Fue desarrollado con nuestras suposiciones sobre puntos y líneas reales en mente, pero siempre fue una cuestión empírica si realmente proporcionaba el mejor modelo de puntos y líneas en el mundo físico... Nuestra aritmética básica se desarrolla para modelar nuestro práctica de conteo. De hecho, lo hace con tanto éxito que no tendemos a verlo como un modelo en absoluto. De manera similar, podemos ver nuestro lenguaje de números reales en matemáticas como si hubiera sido creado para modelar nuestras prácticas de medición. "
De hecho, no es difícil conectar incluso el más puro de los "juegos matemáticos" puros con raíces muy humildes y mundanas a través de seis (a menudo dos o tres) grados de separación, a pesar del minimalismo de Quine y el desdén de Hardy por las aplicaciones (ver ¿Cuándo fueron los conceptos de Matemática pura y aplicada introducidos? ). Esto reivindica la idea de Wittgenstein de que las matemáticas, incluidas sus partes de juego libre, "endurecen" las regularidades empíricas inherentes a nuestras prácticas de hacer frente al mundo. Esto significa que circunscribimos alguna aproximación de ellos en sistemas axiomáticos y luego los elevamos al estado sin excepción al prohibir las "desviaciones" empíricas, ver Empirical Regularities in Wittgenstein's Philosophy of Mathematics de Steiner .
Algunas otras buenas fuentes sobre el tema son la revisión de Peressini del libro de Colyvan The Indispensability of Mathematics (Colyvan es uno de los últimos defensores acérrimos de la ortodoxia quineana) y Applied Mathematics, Existential Commitment de Azzouni .
Ricardo
usuario19423
ricardo haney