Movimiento periódico de geodésicas temporales en un espacio-tiempo AdS homogéneo

En resumen, el punto es que su afirmación "El centro de oscilación de una partícula parece físico e independiente de las coordenadas" es incorrecta. La respuesta a la pregunta "¿Cómo puede haber oscilación periódica sin que la oscilación esté centrada en algún punto especial?" es el siguiente.

No se puede decir con sensatez que una sola geodésica temporal en AdS puro hagacualquier cosa; simplemente se sienta allí. Para afirmar que está ejecutando un movimiento armónico simple, debe introducir una ubicación de referencia con respecto a la cual está ejecutando este movimiento. En su pregunta, haga esto introduciendo un origen de algún conjunto de coordenadas globales de AdS. Pero dado que AdS es simétrico al máximo, hay un conjunto infinito de gráficos de coordenadas globales, cada uno de los cuales podemos pensar que está etiquetado por la geodésica en el origen de ese gráfico (más algo de libertad de rotación adicional, pero eso no importa para el propósito actual). En otras palabras: dada una geodésica temporal particular en AdS, siempre es posible construir un gráfico de coordenadas global en el que esa geodésica se encuentre en el origen. (Por lo tanto, debo señalar que no existe tal cosa como el origen, como escribiste; solo puede haberun origen.)

Por lo tanto, su afirmación de que "Todas las geodésicas temporales que pasan por el origen de coordenadas de AdS... ejecutan un movimiento armónico simple sobre el origen..." se puede reformular de forma independiente de las coordenadas como "La separación relativa adecuada entre dos las geodésicas en AdS se someten a SHM en función del tiempo adecuado a lo largo de esas geodésicas". Ahora está claro cómo se resuelve el problema: no está considerando una sola geodésica, sino la separación relativa de dos geodésicas.

Para la posteridad, quiero explicar exactamente en qué estaba confundido. Imagina que Alice observa una partícula masiva que oscila periódicamente alrededor de su origen:

Hasta ahora, todo bien. Pero ahora llega Bob y establece otro sistema de coordenadas cuyo origen$x = 0$se desplaza un poco de la de Alice:

La partícula también pasa por el origen de este sistema de coordenadas, pero no oscila periódicamente alrededor de él. Pero se supone que las partículas masivas cuyas trayectorias pasan por el origen (de las coordenadas de Bob) oscilan alrededor del origen. Aparente contradicción.

Como señaló Sebastian, la resolución es que si la curva sinusoidal negra es de hecho una geodésica, entonces el sistema de coordenadas azul de Bob no es una geodésica. Es un sistema de coordenadas válido, pero si Bob estuviera conectado a ese sistema de coordenadas, entonces no sería inercial, sino que sentiría la aceleración. Por lo tanto, el sistema de coordenadas de Bob no es el tipo de coordenadas polares que solemos usar para AdS, y no es cierto que todas las geodésicas temporales que pasan por su origen deban oscilar alrededor de ese origen.

De hecho, tiene razón en su afirmación de que las geodésicas temporales oscilan a través del origen y, junto con el hecho de que AdS es homogéneo e isotrópico, esto presenta un poco de enigma, porque claramente el origen de AdS no es un punto especial.

La resolución es que el origen depende de las coordenadas de la misma manera que el Polo Norte de una esfera depende de las coordenadas. Si tomó una geodésica general que oscila a través del origen y la transformó a un nuevo conjunto de coordenadas, genéricamente, la nueva trayectoria no estaría oscilando a través del origen del nuevo sistema de coordenadas.

La idea de discutir las geodésicas de la forma en que lo hace Carroll es que, debido a la homogeneidad, si deseamos considerar todas las geodésicas posibles, basta con considerar simplemente todas las geodésicas que pasan por un punto dado, digamos el origen. Luego, las simetrías se pueden usar para transformar esas geodésicas en otras que pasan por diferentes puntos. Un punto clave es que las geodésicas temporales que pasan por el origen solo representan un subconjunto de todas las geodésicas posibles.

La analogía del espacio plano sería considerar el conjunto de todas las líneas rectas que pasan por el origen si uno estuviera interesado en las geodésicas del espacio plano, omitiendo las que no pasan por el origen porque se pueden obtener trivialmente mediante traslaciones. En el caso actual, debido a que AdS es curvo, no tiene "traducciones" per se, con$x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + C^{\mu}$si$x^{\mu}$son las coordenadas y$C^{\mu}$son una colección de constantes, pero tiene isometrías que mueven el origen.

De hecho, para una descripción aún más compacta de las geodésicas temporales, solo se podría proporcionar la de una partícula que se encuentra en el origen, y todas las demás se podrían obtener a través de las simetrías. En el espacio plano, esto sería como proporcionar una sola línea recta y afirmar que todas las demás líneas rectas podrían obtenerse mediante rotaciones y traslaciones.