Límite espacial y geodésicas de AdS

Por lo que pude entender, parece que desea saber si las geodésicas temporales pueden alcanzar el límite conforme de AdS. Si ese es el caso (confirme), la respuesta es no : ninguna geodésica temporal puede alcanzar el infinito conforme, sino que se vuelve a enfocar constantemente en el bulto de manera periódica. Necesita curvas temporales que tengan algo de aceleración para evitar esto. Las geodésicas nulas máximamente extendidas (es decir, los rayos de luz), por otro lado, siempre alcanzan el infinito conforme, tanto en el pasado como en el futuro. Se puede encontrar una ilustración de estos hechos usando diagramas de Penrose, por ejemplo, en la Sección 5.2, pp. 131-134 del libro de SW Hawking y GFR Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time" (Cambridge, 1973).

El razonamiento detallado detrás del párrafo anterior se puede ver de una manera geométrica global. En lo que sigue, seguiré en gran medida el argumento presentado en el libro de B. O'Neill, "Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity" (Academic Press, 1983), especialmente la Proposición 4.28 y comentarios posteriores, pp. 112 -113. Para el beneficio de aquellos que no tienen acceso al libro de O'Neill, presentaré el argumento independiente con todo detalle. Haré uso del hecho de que$AdS_4$es la cubierta universal del hiperboloide incrustado$H_m$($m>0$) en$\mathbb{R}^{2,3}=(\mathbb{R}^5,\eta)$

$$H_m=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ \eta(x,x)\doteq -x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-m\}\ .$$

El mapa de cobertura$\Phi:AdS_4\ni(t,r,\theta,\phi)\mapsto (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)\in H_m\subset\mathbb{R}^{2,3}$a través de las coordenadas globales$(t\in\mathbb{R},r\geq 0,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\phi<2\pi)$es dado por

$$x_0=\sqrt{m(1+r^2)}\sin t\ ;$$ $$x_1=\sqrt{m}r\sin\theta\cos\phi\ ;$$ $$x_2=\sqrt{m}r\sin\theta\sin\phi\ ;$$ $$x_3=\sqrt{m}r\cos\theta\ ;$$ $$x_4=\sqrt{m(1+r^2)}\cos t\ .$$

El retroceso de la métrica pseudo-Riemanniana plana y ambiental$\eta$definido anteriormente (con firma$(-+++-)$) por$\Phi$después de la restricción a$H_m$produce el$AdS_4$métrica en la forma que aparece en la pregunta y en la amable respuesta de Pedro Figueroa hasta un factor positivo constante:

$$ds^2= m\left[-(m+r^2)dt^2+(m+r^2)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

La terminación conforme de$AdS_4$, a su vez, se obtiene mediante el cambio de variable radial$u=\sqrt{m+r^2}-r$, de modo que$r=\frac{m-u^2}{2u}$,$dr=-\frac{1}{u}(\frac{m+u^2}{2u})du$y$m+r^2=(\frac{m+u^2}{2u})^2$, dando

$$ds^2=\frac{m}{u^2}\left[-\left(\frac{m+u^2}{2}\right)^2dt^2+du^2+\left(\frac{m-u^2}{2}\right)^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

El infinito conforme se alcanza tomando$r\rightarrow+\infty$, que es lo mismo que$u\searrow 0$. La métrica reescalada$\Omega^2 ds^2$,$\Omega=m^{-\frac{1}{2}}u$produce el universo estático tridimensional de Einstein como el límite conforme (es decir,$u=0$).

Está claro que$H_m$es un conjunto de niveles de la función$f:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$dada por$f(x)=\eta(x,x)$. Por lo tanto, el campo vectorial$X_x=\frac{1}{2}\mathrm{grad}_\eta f(x)=x$(dónde$\mathrm{grad}_\eta$es el operador gradiente definido con respecto a$\eta$) es normal en todas partes$H_m$- es decir, cualquier vector tangente$X_x\in T_x H_m$satisface$\eta(X_x,T_x)=0$. Dados dos campos vectoriales$T,S$tangente a$H_m$, la derivada covariante intrínseca$\nabla_T S$en$H_m$está simplemente dada por la componente tangencial de la derivada covariante ambiental (plana)$(\partial_T S)^a=T^b\partial_b S^a$:

$$\nabla_T S=\partial_T S-\frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\partial_T S+\frac{\eta(X,\partial_T S)}{m}X\ .$$

El componente normal de$\partial_T S$, a su vez, tiene una forma especial debido a la naturaleza de$H_m$(Darse cuenta de$\partial_a X^b=\partial_a x^b=\delta^b_a$):

$$\eta(X,\partial_T S)=\underbrace{\partial_T(\eta(X,S))}_{=0\ ;}-\eta(S,\partial_T X)=-\eta(S,T)\ \Rightarrow\ \frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\frac{\eta(S,T)}{m}X\ .$$

Como tal, concluimos que una curva$\gamma:I\ni\lambda\mapsto\gamma(\lambda)\in H_m$($I\subset\mathbb{R}$es un intervalo con interior no vacío) es una geodésica de$H_m$si y solo si$\frac{d^2\gamma(\lambda)}{d\lambda^2}(\lambda)\doteq\ddot{\gamma}(\lambda)$es normal en todas partes$H_m$, eso es,

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=-\frac{1}{m}\eta(\ddot{\gamma}(\lambda),X_{\gamma(\lambda)})X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))\gamma(\lambda)\ .$$

En particular, si$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=0$, después$\gamma$es también una geodésica (nula) en el espacio ambiental$\mathbb{R}^{2,3}$.

Dado$x\in H_m$, el tramo lineal de$X_x=x$y cualquier vector tangente$T_x\neq 0$a$H_m$a$x$define un plano de 2$P(T_x)$a través del origen de$\mathbb{R}^5$y que contiene$x$. En otras palabras,

$$P(T_x)=\{\alpha X_x +\beta T_x\ |\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\ ,$$

y por lo tanto

$$P(T_x)\cap H_m=\{y=\alpha X_x+\beta T_x\ |\ \eta(y,y)=-\alpha^2 m+\beta^2\eta(T_x,T_x)=-m\}\ .$$

Esto nos permite ya clasificar$P(T_x)\cap H_m$según el carácter causal de$T_x$:

• $T_x$temporal (es decir$-k=\eta(T_x,T_x)<0$): tenemos eso$m\alpha^2+k\beta^2=m$con$k,m>0$, por eso$P(T_m)\cap H_m$es una elipse;
• $T_x$espacial (es decir$k=\eta(T_x,T_x)>0$): tenemos eso$m\alpha^2-k\beta^2=m$con$k,m>0$, por eso$P(T_m)\cap H_m$es un par de hipérbolas, una con$\alpha>0$y el otro con$\alpha<0$. El punto$x=X_x$pertenece a la primera hipérbola;
• $T_x$similar a la luz (es decir$\eta(T_x,T_x)=0$): tenemos eso$\alpha^2=1$con$\beta$arbitrario, por lo tanto$P(T_m)\cap H_m$es un par de rectas, una dada por$\alpha=1$y el otro por$\alpha=-1$. El punto$x=X_x$pertenece a la primera línea. Observe que cada una de estas líneas es una geodésica nula tanto en$H_m$y en$\mathbb{R}^{2,3}$!

Es más,$x=\gamma(0)$y$T_x=\dot{\gamma}(0)$definir una condición inicial general para una geodésica$\gamma$a partir de$x$. Queda por demostrar que cualquier curva que permanece en$P(T_x)\cap H_m$es una geodésica en$H_m$. Esto es claramente cierto para$T_x$liviana, ya que en este caso ya hemos concluido que$\gamma(\lambda)=x+\lambda T_x$para todos$\lambda\in\mathbb{R}$. Para los casos restantes (es decir,$\eta(T_x,T_x)\neq 0$), considere un$\mathscr{C}^2$curva$\gamma$en$P(T_x)\cap H_m$comenzando en$\gamma(0)=x$con$\dot{\gamma}(0)=\dot{\beta}(0)T_x$(asumimos que$\dot{\gamma}(\lambda)\neq 0$para todos$\lambda$). Escritura$\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$, concluimos de la clasificación anterior de$P(T_x)\cap H_m$que podemos elegir el parámetro$\lambda$de modo que

• $T_x$temporal:$\alpha(\lambda)=\cos\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sin\lambda$, de modo que$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=-m$con$\dot{\beta}(0)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$;
• $T_x$espacial:$\alpha(\lambda)=\cosh\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sinh\lambda$, de modo que$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=+m$con$\dot{\beta}(0)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$.

En ambos casos, concluimos que

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=\frac{\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}{m}\gamma(\lambda)\ ,$$

es decir$\gamma$debe satisfacer la ecuación geodésica en$H_m$con la parametrización elegida, según se desee. Dado que cualquier par de condiciones iniciales para una geodésica determina un plano de 2 a través del origen de la manera anterior, concluimos que la geodésica resultante en$H_m$permanecerá para siempre en ese 2-plano. Para uso posterior, remarco que todas las geodésicas de$H_m$cruzar al menos una vez el 2-plano$P_0=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ x_1=x_2=x_3=0\}$- esto se puede ver fácilmente a partir de la clasificación de los conjuntos$P(T_x)\cap H_m$. Esto nos permite prescribir condiciones iniciales en $P_0$para todas las geodésicas en$H_m$.

Ahora tenemos un conocimiento completo de las geodésicas en el dominio fundamental$H_m$de$AdS_4$. ¿Qué pasa cuando volvemos a la cobertura universal? Lo que sucede es que las elevaciones de las geodésicas similares al espacio y a la luz permanecen confinadas a una sola copia del dominio fundamental, mientras que las elevaciones de las geodésicas temporales no. Para ver esto, explotamos el hecho de que las traslaciones en el tiempo coordinan$t$son isometrías y la observación al final del párrafo anterior para establecer

$$\gamma(0)=X_x=x=(0,0,0,0,\sqrt{m})$$ en $H_m$(es decir $\gamma$está hecho para comenzar en $P_0$con $t=0$), de modo que $$\dot{\gamma}(0)=T_x=(y_0,y_1,y_2,y_3,0)\ .$$ También normalizamos $\eta(T_x,T_x)$a $-m$, $+m$o cero dependiendo de si $T_x$es respectivamente temporal, espacial o luminosa. Escribiendo una vez más $\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$, usamos la clasificación de las geodésicas en $H_m$por su carácter causal para escribir fórmulas explícitas para $\gamma$:

• $T_x$temporal$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cos\lambda)X_x+(\sin\lambda)T_x$;
• $T_x$espacial$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cosh\lambda)X_x+(\sinh\lambda)T_x$;
• $T_x$ligero$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=X_x+\lambda T_x$.

Las expresiones anteriores muestran que, en los casos similar al espacio y similar a la luz, el último componente$\gamma(\lambda)_4$de$\gamma(\lambda)$nunca llega a cero, lo que implica por continuidad que la coordenada de tiempo$t$se mantiene dentro del intervalo$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, de ahí la elevación de$\gamma$a$AdS_4$permanece dentro de una sola copia de su dominio fundamental. También se ve que las componentes espaciales (1,2,3) de$\gamma(\lambda)$ir al infinito como$\lambda\rightarrow\pm\infty$, por eso$u\rightarrow 0$a lo largo de estas geodésicas como$\lambda\rightarrow\pm\infty$. En el caso temporal, todo el intervalo de tiempo$[0,2\pi]$está atravesado por$\gamma(\lambda)$como$\lambda$abarca el intervalo$[0,2\pi]$. Dado que la curva es cerrada, su ascensor a$AdS_4$abarca toda la línea de tiempo$\mathbb{R}$como$\lambda$lo hace Por otro lado, es claro que en este caso los componentes espaciales de$\gamma(\lambda)$simplemente sigue oscilando dentro de un intervalo acotado de la coordenada$r$- por lo tanto, la coordenada$u$permanece acotado lejos de cero. Por lo tanto, una geodésica temporal$\gamma$nunca escapa al infinito conforme.

Empezaré desde cero. para obtener el$AdS_4$métrica que se toma$\mathbb{R}^{2,3}$e incrustar el quadric

$$-(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2-(x^4)^2=-1$$ donde el 1 del lado derecho puede ser cualquier constante positiva. La solución (o parametrización) $$(x^0)^2+(x^4)^2=\cosh^2\sigma,\hspace{0.25in}(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=\sinh^2\sigma$$ con $\sigma\in\mathbb{R}^+$, se conoce como coordenadas globales (ya que cubre la totalidad de la cuádrica) y la métrica inducida toma la forma $$ds^2=-\cosh^2\sigma\,dt^2+d\sigma^2+\sinh^2\sigma\,d\zeta^2\tag{1}$$ con $t\in\mathbb{R}$para la cubierta universal (para que no surjan curvas temporales cerradas) y $d\zeta^2$la métrica de $S^2$. Con el cambio de coordenadas $r=\sinh\sigma$la métrica toma la forma $$ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2\,d\zeta^2,\hspace{0.25in}f(r)=1+r^2\tag{2}$$ con $r\in\mathbb{R}^+$, que es similar a lo que escribiste y cómo se escribe generalmente (puedes especificar en qué coordenadas estás trabajando), así que me limitaré a eso.

Entonces, lo que quieres hacer es verificar qué sucede con las geodésicas. Por estos medios, debido a la simetría rotacional o esférica, puede fijar la esfera a cualquier ángulo.$S^2$, de modo que$d\zeta^2=0$, no importa cuál tomes, será lo mismo; cuando las personas visualizan esto en un diagrama de Penrose, dicen que cada punto en el diagrama representa$S^2$.

Para geodésicas nulas, como$ds^2=0$, tomando un parámetro afín$\lambda$, de (2),

$$(1+r^2)\dot{t}^2=(1+r^2)^{-1}\dot{r}^2\tag{3}$$ Tambien como $\partial_t$(es decir, el vector con componentes $V^t=1$, $V^i=0$) es un vector Killing global, tienes la constante $$V_t\dot{t}=g_{t\alpha}V^\alpha\dot{t}=-(1+r^2)\,\dot{t}\equiv-E\tag{4}$$ (que siendo un $t$-invariancia traslacional, puede considerarse como energía conservada). De esta manera, entonces, usando (3) y (4), $$E^2=\dot{r}^2$$ y luego para los rayos de luz salientes, $$r=E\lambda$$ y $\lambda\to\infty$como $r\to\infty$, lo cual está bien, ya que significa que el espacio está geodésicamente completo , de todos modos, usando esta solución y (4), obtienes $$t=\arctan(E\lambda)$$ para que por $\lambda\to\infty$, $t=\pi/2$, de modo que se necesita un tiempo de coordenadas finitas para que un rayo de luz alcance el infinito.

En cuanto a las geodésicas temporales, puede proceder de manera análoga, establecer, por ejemplo,$ds^2=-1$(ya que la firma es -+++), entonces, si lo desea, usando el tiempo adecuado$\tau$,

$$\dot{r}^2+(1+r^2)-E^2=0$$ que para $r(0)=0$, $\tau\in(-\pi/2,\pi/2)$(siendo $r>0$), $$r=\sqrt{E^2-1}|\sin\tau|$$ y por lo tanto $r$está ligado. Ahora, no había hecho esto antes, y estoy tratando de averiguar por qué, por ejemplo, si $E=\pm1$, después $r=0$(si en general un conjunto $ds^2=-\alpha$con $\alpha>0$uno obtiene esto por $E=\pm\alpha$), pero lo principal aquí es que $r$está ligado. Puede verificar esto también con coordenadas de tiempo usando (4).

Si, como dice, le preocupan los agujeros negros, tal vez podría tomar la métrica de Schwarzschild-AdS:$f(r)=1+r^2-\frac{2M}{r}$en (2) e intente lo mismo.