Soy nuevo en el trabajo con AdS space y me preocupan principalmente los agujeros negros. Solo estoy jugando con la métrica de AdS
por , .
Mi problema es tratar de entender el límite; específicamente al considerar las trayectorias de partículas:
Para las geodésicas nulas, he leído que alcanzan el límite del espacio AdS, lo que parece expresarse comúnmente como que se representan como líneas rectas. No entiendo cómo estas dos frases son iguales y cómo mostrar que este es el caso a partir de la métrica que he dicho. Usando constantes de movimiento, etc., y asumiendo una trayectoria radial, encuentro la ecuación
, por constante.
Para las geodésicas temporales, sé que no alcanzan el límite y, de manera equivalente, leo que están representadas por el límite de las rebanadas del hiperboloide, es decir, elipses. Nuevamente, ¿cómo demuestro que esto realmente representa geodésicas de línea de tiempo? Como arriba (pero en este caso) encuentro la ecuación
dónde es el límite y la inicial .
He estado leyendo (tanto como puedo usando la literatura coherente bastante limitada sobre el tema) y solo puedo encontrar discusiones sobre este tema, con algunos diagramas. Ninguno parece abordar esta pregunta de la manera que lo hice anteriormente y, en consecuencia, estoy pensando que debe haber algo mal con lo que he hecho.
Por lo que pude entender, parece que desea saber si las geodésicas temporales pueden alcanzar el límite conforme de AdS. Si ese es el caso (confirme), la respuesta es no : ninguna geodésica temporal puede alcanzar el infinito conforme, sino que se vuelve a enfocar constantemente en el bulto de manera periódica. Necesita curvas temporales que tengan algo de aceleración para evitar esto. Las geodésicas nulas máximamente extendidas (es decir, los rayos de luz), por otro lado, siempre alcanzan el infinito conforme, tanto en el pasado como en el futuro. Se puede encontrar una ilustración de estos hechos usando diagramas de Penrose, por ejemplo, en la Sección 5.2, pp. 131-134 del libro de SW Hawking y GFR Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time" (Cambridge, 1973).
El razonamiento detallado detrás del párrafo anterior se puede ver de una manera geométrica global. En lo que sigue, seguiré en gran medida el argumento presentado en el libro de B. O'Neill, "Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity" (Academic Press, 1983), especialmente la Proposición 4.28 y comentarios posteriores, pp. 112 -113. Para el beneficio de aquellos que no tienen acceso al libro de O'Neill, presentaré el argumento independiente con todo detalle. Haré uso del hecho de que es la cubierta universal del hiperboloide incrustado ( ) en
El mapa de cobertura a través de las coordenadas globales es dado por
El retroceso de la métrica pseudo-Riemanniana plana y ambiental definido anteriormente (con firma ) por después de la restricción a produce el métrica en la forma que aparece en la pregunta y en la amable respuesta de Pedro Figueroa hasta un factor positivo constante:
La terminación conforme de , a su vez, se obtiene mediante el cambio de variable radial , de modo que , y , dando
El infinito conforme se alcanza tomando , que es lo mismo que . La métrica reescalada , produce el universo estático tridimensional de Einstein como el límite conforme (es decir, ).
Está claro que es un conjunto de niveles de la función dada por . Por lo tanto, el campo vectorial (dónde es el operador gradiente definido con respecto a ) es normal en todas partes - es decir, cualquier vector tangente satisface . Dados dos campos vectoriales tangente a , la derivada covariante intrínseca en está simplemente dada por la componente tangencial de la derivada covariante ambiental (plana) :
El componente normal de , a su vez, tiene una forma especial debido a la naturaleza de (Darse cuenta de ):
Como tal, concluimos que una curva ( es un intervalo con interior no vacío) es una geodésica de si y solo si es normal en todas partes , eso es,
En particular, si , después es también una geodésica (nula) en el espacio ambiental .
Dado , el tramo lineal de y cualquier vector tangente a a define un plano de 2 a través del origen de y que contiene . En otras palabras,
y por lo tanto
Esto nos permite ya clasificar según el carácter causal de :
Es más, y definir una condición inicial general para una geodésica a partir de . Queda por demostrar que cualquier curva que permanece en es una geodésica en . Esto es claramente cierto para liviana, ya que en este caso ya hemos concluido que para todos . Para los casos restantes (es decir, ), considere un curva en comenzando en con (asumimos que para todos ). Escritura , concluimos de la clasificación anterior de que podemos elegir el parámetro de modo que
En ambos casos, concluimos que
es decir debe satisfacer la ecuación geodésica en con la parametrización elegida, según se desee. Dado que cualquier par de condiciones iniciales para una geodésica determina un plano de 2 a través del origen de la manera anterior, concluimos que la geodésica resultante en permanecerá para siempre en ese 2-plano. Para uso posterior, remarco que todas las geodésicas de cruzar al menos una vez el 2-plano - esto se puede ver fácilmente a partir de la clasificación de los conjuntos . Esto nos permite prescribir condiciones iniciales en para todas las geodésicas en .
Ahora tenemos un conocimiento completo de las geodésicas en el dominio fundamental de . ¿Qué pasa cuando volvemos a la cobertura universal? Lo que sucede es que las elevaciones de las geodésicas similares al espacio y a la luz permanecen confinadas a una sola copia del dominio fundamental, mientras que las elevaciones de las geodésicas temporales no. Para ver esto, explotamos el hecho de que las traslaciones en el tiempo coordinan son isometrías y la observación al final del párrafo anterior para establecer
Las expresiones anteriores muestran que, en los casos similar al espacio y similar a la luz, el último componente de nunca llega a cero, lo que implica por continuidad que la coordenada de tiempo se mantiene dentro del intervalo , de ahí la elevación de a permanece dentro de una sola copia de su dominio fundamental. También se ve que las componentes espaciales (1,2,3) de ir al infinito como , por eso a lo largo de estas geodésicas como . En el caso temporal, todo el intervalo de tiempo está atravesado por como abarca el intervalo . Dado que la curva es cerrada, su ascensor a abarca toda la línea de tiempo como lo hace Por otro lado, es claro que en este caso los componentes espaciales de simplemente sigue oscilando dentro de un intervalo acotado de la coordenada - por lo tanto, la coordenada permanece acotado lejos de cero. Por lo tanto, una geodésica temporal nunca escapa al infinito conforme.
Empezaré desde cero. para obtener el métrica que se toma e incrustar el quadric
Entonces, lo que quieres hacer es verificar qué sucede con las geodésicas. Por estos medios, debido a la simetría rotacional o esférica, puede fijar la esfera a cualquier ángulo. , de modo que , no importa cuál tomes, será lo mismo; cuando las personas visualizan esto en un diagrama de Penrose, dicen que cada punto en el diagrama representa .
Para geodésicas nulas, como , tomando un parámetro afín , de (2),
En cuanto a las geodésicas temporales, puede proceder de manera análoga, establecer, por ejemplo, (ya que la firma es -+++), entonces, si lo desea, usando el tiempo adecuado ,
Si, como dice, le preocupan los agujeros negros, tal vez podría tomar la métrica de Schwarzschild-AdS: en (2) e intente lo mismo.
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