Geodésicas del espacio anti-de Sitter

"Cada geodésica temporal cruzará el mismo punto después de un intervalo de tiempo de$\pi$será verdadera si el semiperíodo es$\pi$. Encontraste la solución general para$x(\tau)$, a saber

$$x(\tau)=A\sin\tau+B\cos\tau$$ o, alternativamente, $$x(\tau)=A\sin{(\tau-\tau_0)}.$$ Cuando$\tau$aumenta en$\pi$,$x$vuelve a ser lo que era, después de medio período.

Pero queremos mostrar que, cuando$x$Vuelve,$t$, y no solo$\tau$, ha aumentado en$\pi$. Entonces que es$t$¿haciendo?

cuando sustituyes$x(\tau)=A\sin{(\tau-\tau_0)}$en

$$\frac{\dot{x}^2}{1+x^2}-(1+x^2)\dot{t}^2=-1$$ y resolver para$t$, usted obtiene $$t(\tau)=\tan^{-1}{[\sqrt{A^2+1}\tan{(\tau-\tau_0)}]}+t_0.$$

Para ver lo que está pasando aquí, tomemos$\tau_0$y$t_0$sea ​​cero (ya que solo representan traducciones de tiempo poco interesantes) y mire la función$\tan^{-1}{(\sqrt{A^2+1}\tan{\tau})}$. Aquí hay una trama de cuando$A=\sqrt{3}$(solo un valor arbitrario como ejemplo):

Pero$t$no es realmente discontinuo como este. La función arcotangente tiene varios valores, y tenemos que tomar la rama apropiada de ella para que t crezca continuamente con$\tau$. Esto significa que nos movemos hacia arriba en la segunda curva azul por$\pi$, la tercera curva azul por$2\pi$, etc. para obtener una función continua$t(\tau)$que se parece a esto:

El resultado es que siempre que$\tau$aumenta en$\pi$, también lo hace$t$!

Entonces, para resumir, las geodésicas temporales son

$$\begin{align} x&=A\sin\tau \\ t&=\tan^{-1}{[\sqrt{A^2+1}\tan{\tau}]} \end{align}$$

donde hemos descartado las poco interesantes constantes de traducción del tiempo.

Cuando$\tau$aumenta en$\pi$,$t$también aumenta en$\pi$, y$x$vuelve a ser lo que era. Esto es lo que estabas tratando de mostrar.

Primero, la declaración

cruzará el mismo punto después de un intervalo de tiempo de$\pi$

Está Mal. En el documento citado, la declaración real

… cada geodésica temporal que intersecta el$t$eje en el punto$t=t_0$intersecta ese eje nuevamente en$t=t_0+\pi$.

Entonces el$\pi$El intervalo se refiere al paso por el$x=0$, el período real para una partícula masiva que se mueve a lo largo de una geodésica (como en, no solo la posición sino también la velocidad de la partícula es la misma) es$2 \pi$.

Para que la "propiedad de enfoque" del espacio AdS sea intuitiva, recordemos la incrustación canónica del espacio AdS en el ambiente pseudo-Riemanniano.$\mathbb{R}^{2,1}$espacio con dos coordenadas temporales y una espacial:$ds^2=-dU^2-dV^2+dX^2$.

AdS ₂ se define como un hiperboloide$-U^2-V^2+X^2=-1$. Coordenadas estáticas internas$(t,x)$están conectados con las coordenadas del espacio ambiental a través de:

$$(U,V,X) = (\sqrt{1+x^2}\cos(t),\sqrt{1+x^2}\sin(t),x) .$$ Es fácil ver que los puntos con coordenadas estáticas$(x_0,t_0)$y$(x_0,t_0+2\pi)$son en realidad uno y lo mismo. Si “desenrollamos” el$t$variable al hacerlos distintos, en realidad pasamos del espacio de AdS propiamente dicho al espacio de cobertura universal de AdS. Las geodésicas temporales en AdS son las secciones de un hiperboloide por un plano temporal de un espacio incrustado que pasa por el origen. Para mostrar eso, uno podría comenzar mostrando ese círculo$X=0$,$U^2+V^2=1$(o alternativamente$U=\cos \tau$,$V=\sin\tau$,$\tau$es el momento adecuado) es una geodésica y luego usa isometrías de AdS (que es un grupo de Lorentz$SO(2,1)$de un espacio de incrustación) para convertir esta geodésica en todas las demás geodésicas temporales. Dado que estas secciones son curvas cerradas (puntos suspensivos) (para el espacio AdS propiamente dicho), o curvas sinuosas periódicas en$t$coordinar con un periodo$2\pi$(para el espacio que cubre) hemos probado el enunciado en cuestión (con un punto correcto), sin cálculos explícitos. Por cierto, la solución$x(\tau) = A \sin(\tau) + B \cos(\tau)$se vuelve algo obvio a través del espacio incrustado, con$A$y$B$procedente de las transformaciones lorentzianas de$U$y$V$.

Los cálculos reales en la pregunta del OP para la ecuación geodésica son correctos hasta la última ecuación. Uno debe recordar, que la condición$g(u,u)=-1$nos da dependencia entre$A$y$B$constante de la$x(\tau)$y la constante de energía$E$. A saber,$1+A^2+B^2=E^2$. Como resultado, si cambiamos$\tau\to \tau+\delta$para eliminar$A$, podríamos integrar$\dot{t}=f(\tau)$para obtener

$$\tan(t-t_0)=\frac{\tan(\tau)}{\sqrt{1+B^2}}.$$ Vemos que la diferencia de fase entre$t$y$\tau$nunca es grande y se convierte en cero después de cada$\pi$. Y entonces$x(t)$también sería periódica con un período de$2\pi$.