Geodésicas en AdS3AdS3\text{AdS}_3

Tengo algunos problemas para hacer un cálculo fácil con el anuncios espacio. estoy considerando anuncios 3 espacio con las coordenadas de Poincaré, por lo que la métrica dice

d s 2 = R 2 z 2 ( d z 2 − d t 2 + d X 2 ) .

Quiero calcular las geodésicas para un t = constante rebanada, con el fin de obtener la entropía de entrelazamiento holográfico para la región X ∈ [ − yo / 2 , + yo / 2 ] , como se describe en este artículo (ec. 12 a 14).

Entonces, me puse t = constante y calculo las ecuaciones geodésicas:

z ¨ + 1 z ( − z ˙ 2 + X ˙ 2 ) = 0.

X ¨ − 2 z z ˙ X ˙ = 0.

Como dice el papel, la solución debería ser la semicircunferencia. X = ( yo 2 ) 2 − z 2 , o escrito en forma paramétrica:

X = − yo 2 porque ⁡ π λ

z = yo 2 pecado ⁡ π λ

con λ ∈ [ 0 , 1 ] .

Pero si sustituyo esta solución en las ecuaciones geodésicas, no entiendo que estén satisfechas. Entonces, ¿cuál sugieres que es mi problema?

Respuestas (1)

La ecuación geodésica afín (GE)

(1) d 2 X m d λ 2 + Γ α β m d X α d λ d X β d λ   =   0

depende de la parametrización: El GE afín (1) se mantiene cuando el parámetro λ está relacionado afínmente con la longitud del arco s = a λ + b de la geodésica.

Esto puede deducirse, por ejemplo, del hecho de que la ec. (1) no es invariante bajo reparametrizaciones de línea mundial λ → λ ~ . El GE para una parametrización genérica contiene un término adicional proporcional a la velocidad:

(2) d 2 X m d λ 2 + Γ α β m d X α d λ d X β d λ   ∝   d X m d λ .

Gracias. Lo tengo. La ecuación geodésica para una parametrización no afín es
X ¨ m + Γ α β m X ˙ α X ˙ β = F ( λ ) X ˙ m
dónde, F ( λ ) es alguna función por determinar. La solución satisface al GE con F ( λ ) = − π C o t a norte π λ para mi parametrización.
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