¿Cómo inferir del principio de equivalencia de Einstein que una partícula de prueba debe seguir la geodésica?

El principio de equivalencia de Einstein (EEP) establece que

Un marco acelerado linealmente en relación con un marco inercial en relatividad especial es LOCALMENTE idéntico a un marco en reposo en un campo gravitatorio.

Y también, a partir de esta respuesta , se afirma que el EEP lleva a la deducción de que una partícula de prueba seguirá geodésica.

La razón por la que el principio de equivalencia es fundamental para GR es el hecho de que puede representar el campo gravitatorio con un tensor métrico: puede reemplazar una ecuación de fuerza con una ecuación geodésica para una masa de prueba precisamente debido al hecho de que el geodésica que sigue esa masa de prueba (o la "aceleración" que siente una masa newtoniana) es independiente de la masa de esa partícula de prueba.

Pero no veo cómo inferir lógicamente del principio de equivalencia de Einstein que una partícula de prueba debería seguir la geodésica. ¿Algunas ideas?

relacionado: physics.stackexchange.com/q/24359 (Pero creo que las dos preguntas son diferentes, ya que esta es sobre cómo la hipótesis geodésica se deriva del EP, no de GR).

Respuestas (2)

Del EEP se deduce que si tiene una partícula de prueba en caída libre, entonces debería poder definir un marco de coordenadas cartesianas local en el que:

a) la partícula de prueba está en reposo. b) la física es descrita localmente por la física en tiempo de Minkowski.

En particular, en este marco, todos los símbolos de Christofel deben desaparecer en la línea de tiempo de partículas. Concluimos trivialmente que en este marco de coordenadas local la línea de mundo es paralela al transporte de la velocidad 4 de la partícula de prueba. Dado que la velocidad 4 también es tangente a la línea de mundo, la línea de mundo es paralela y transporta su propio vector tangente, la definición de una geodésica.

Por lo tanto, el EEP implica que las partículas de prueba deben seguir las geodésicas.

Esto me parece bien. ¿Por qué el voto negativo?
Tal vez la pregunta es cómo el principio de equivalencia conduce a la geometría. Cómo de requerir (caída libre) = (en reposo lejos de las fuentes de gravedad) llegamos a la noción de espacio-tiempo curvo.

Una forma de expresar el EP es que los experimentos de Eotvos deberían dar resultados nulos. Si las partículas de prueba no siguen las geodésicas, entonces parece probable que los resultados de los experimentos de Eotvos no sean nulos.

Esto es todo sobre el EP, no sobre GR más específicamente. Nos gustaría que la relatividad general obedezca al EP, pero esto es vago porque el EP es difícil de definir con rigor. Ehlers y Geroch han realizado un trabajo más riguroso sobre esto, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0309074v1 . Sin una condición de energía, no puede probar el movimiento geodésico de las partículas de prueba en GR. Escribí una versión vulgar de su argumento en mi libro GR , sección 8.1.3.

¿Quiere decir que requiere una condición de energía para deducir "la partícula de prueba sigue geodésica" de EEP?
Creo que las condiciones de energía solo son necesarias para probar que los cuerpos pequeños siempre se comportan como cuerpos de prueba en el límite de que su masa tiende a cero. Son, por ejemplo, completamente innecesarios para demostrar que los agujeros negros siguen geodésicas en el límite de masa cero.
@Graviton: ¿Quiere decir que requiere una condición de energía para deducir "la partícula de prueba sigue geodésica" de EEP? No, necesitas una condición de energía para deducir esto de GR, no para deducirlo de EP. Y estos son dos significados diferentes de "deducir", ya que GR es una teoría matemáticamente bien definida, y EP no está completamente bien definida. Véase, Sotiriou et al, "Teoría de las teorías de la gravitación: un informe de no progreso", por ejemplo, arxiv.org/abs/0707.2748 .
@mmeent: son, por ejemplo, completamente innecesarios para demostrar que los agujeros negros siguen geodésicas en el límite de masa cero. Esto puede ser cierto, aunque no es del todo obvio para mí. Los agujeros negros no encajan dentro de los supuestos de la demostración de Ehlers y Geroch. En su prueba, establecieron condiciones tales que en un cierto límite, la perturbación del campo gravitacional de la partícula de prueba desaparece y se recupera el espacio-tiempo de fondo. Esto no funciona para un agujero negro, porque la topología con el agujero negro difiere de la topología sin él.
La causa del agujero negro está lejos de ser trivial, pero se deriva de un análisis de expansión asintótica coincidente. Ver (por ejemplo) algunos de los artículos recientes de Adam Pound.
¿Cómo inferir del principio de equivalencia de Einstein que una partícula de prueba debe seguir la geodésica?
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