Mostrar que las clases laterales izquierdas dividen el grupo

Sé cómo probar que sucede, demostrando que la definición de la clase lateral izquierda en realidad es una relación de equivalencia. Luego, se prueba que particiona el conjunto, ya que las relaciones de equivalencia lo hacen.

Sin embargo, este ejercicio me pide demostrarlo de una manera diferente. Primero me pide que demuestre que:

a) La unión de las clases laterales izquierdas es igual a GRAMO

b) Si gramo H ∩ gramo ′ H ≠ ∅ entonces gramo H = gramo ′ H

para a ) Estoy pensando en lo siguiente:

gramo H = { gramo h , h ∈ H }

Así que si GRAMO = { gramo 1 , gramo 2 , ⋯ gramo norte }

Tendríamos las siguientes clases laterales izquierdas:

gramo 1 H = { gramo 1 h , h ∈ H }
gramo 2 H = { gramo 2 h , h ∈ H }
⋯
gramo norte H = { gramo norte h , h ∈ H }

La unión de todos estos conjuntos incluirá todos los gramo ′ s , ya que para cada conjunto

gramo k = { gramo k h , h ∈ H }

tenemos

gramo mi ∈ gramo k = { gramo k h , h ∈ H }

dónde mi es la identidad.

Entonces si hacemos la unión de todos estos conjuntos tendremos al menos todos los elementos de gramo . Los otros elementos son simplemente gramo h para algunos h . Pero desde gramo h ∈ GRAMO serían elementos repetidos en la unión, no importa. Entonces, la unión de todas las clases laterales izquierdas de H en GRAMO es GRAMO .

¿Es correcto mi razonamiento?

Además, ¿qué podría hacer para probar b ) ?

Pero (1)-(2) son exactamente lo que una clase de equivalencia le hace a un conjunto: (1) lo divide y por lo tanto la unión del equiv. clases es el conjunto completo, y (2) el equiv. las clases son disjuntas por pares... si, como usted dice, puede probar esto con clases de equivalencia, ¿qué hay que probar aquí?
@Timbuc cuando probé que es equiv. class, probé las 3 condiciones necesarias y luego usé el teorema de que se divide. Necesitaba una prueba para este caso.

Respuestas (2)

Aquí está la prueba de (b)

supongamos que hay un elemento C ∈ gramo H ∩ gramo ′ H entonces eso significa que C ∈ gramo H y C ∈ gramo ′ H entonces esto significa que hay elementos a , b ∈ H tal que C = gramo a y C = gramo ′ b

ahora esto implica que

C = gramo a = gramo ′ b
lo que también implica que
gramo = gramo ′ b a − 1
porque podemos multiplicar a la derecha por a − 1 en cada lado.

Sin embargo, observe que b a − 1 ∈ H (Cierre de grupos)

y entonces

gramo ∈ gramo ′ H

y así para cualquier a ∈ H , gramo a ∈ gramo ′ H

lo que implica que

gramo H ⊆ gramo ′ H
Por un argumento simétrico,
gramo ′ H ⊆ gramo H

y por lo tanto

gramo H = gramo ′ H

Su argumento para la parte (a) parece decente :)

La parte (1) se ve perfectamente bien.
Para la parte (2), suponga que gramo 1 H ∩ gramo 2 H ≠ ( mi ) .

Entonces se sigue que, para algunos h 1 , h 2 ∈ H , gramo 1 h 1 = gramo 2 h 2 . Entonces gramo 1 h 1 h 2 − 1 = gramo 2 . Pero desde h 1 h 2 − 1 ∈ H , resulta que gramo 2 ∈ gramo 1 H . Entonces gramo 2 = gramo 1 h 3 para algunos h 3 ∈ H . De este modo h 3 = gramo 1 − 1 gramo 2 . Y así, usando el cierre de H , todos los elementos de la forma gramo 1 − 1 gramo 2 h están contenidos en H , por lo que todos los elementos de la forma gramo 1 gramo 1 − 1 gramo 2 h = gramo 2 h están contenidos en gramo 1 H . Y entonces puedes concluir que gramo 2 H ⊆ gramo 1 H . Usar una lógica similar te da eso gramo 1 H ⊂ gramo 2 H , y por lo tanto, gramo 1 H = gramo 2 H .

Mostrar que las clases laterales izquierdas dividen el grupo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v