Verificación de pruebas. Teoría de grupos

Esta es una verificación de prueba. Me temo que tal vez me perdí algo (principalmente desde el punto de vista de la teoría de los números) y no me di cuenta de que podría haber más casos de los que pensaba. O tal vez usé un argumento circular o algo así. También podría haber pruebas más fáciles para este problema. No estoy buscando por algo así. (Le invitamos a escribirlas, pero no contarán como una respuesta). También podría escribir argumentos innecesarios en relación con el enfoque de esta prueba. No en relación con alguna otra prueba más pequeña. Si la prueba es incorrecta le invitamos a señalar por qué y dónde está mal y guiarlo por el camino correcto.

$\textbf {PROBLEM}$:

Si$G$es de orden$p^{n}$dónde$p$es primo. Entonces todo subgrupo de orden$|H|=p^{n-1}$es normal.

$\textbf {PROOF}$: Sé que existe$\phi$homomorfismo$\phi:G \rightarrow S_p$con$ker(\phi) < H$.(en realidad es la acción de grupo de$G$al conjunto$G/H$de las clases laterales izquierdas de H)

Ahora sé

$$|G|=[G:ker\phi]|ker\phi|$$ yo tambien se que $[G:ker\phi]=|G/ker\phi|=|\phi(G)|$.

Ahora$|\phi(G)| \mid |S_p|$ $\Rightarrow$

$$|\phi(G)| \mid 1\cdot2\cdot 3...\cdot p$$ .

ahora tambien tengo$|ker\phi| \mid |H| \Rightarrow |ker\phi| \mid p^{n-1} |$Entonces deja$|ker\phi|=p^{k}$dónde$k<n-1$.

SO desde el
$|G|=[G:ker\phi]|kerg|$yo obtengo

$$p^{n}=a\cdot p^{k} \Rightarrow p^{L}=a$$ dónde $L \geq 2$. Eso no puede ser desde entonces $$p^{L} \mid (1\cdot2\cdot3\cdot ....p) \Rightarrow p^{L-1} \mid (1\cdot2\cdot3\cdot ....p-1)$$ lo que obviamente es una contradicción. Así que $$|ker\phi|=p^{n-1}$$ y desde $ker\phi$es un subgrupo de $H$con el mismo orden son iguales y se sabe que el núcleo es normal.