Mesa Cayley con la identidad a lo largo de una diagonal

La "diagonal principal" de una tabla/matriz se refiere a las entradas con índice$(i,i)$; esta es la diagonal que va de "arriba a la izquierda" a "abajo a la derecha": son las entradas marcadas con un$\mathbf{D}$abajo:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbf{D}& \cdot & \cdot & \cdot\\ \hline \cdot & \mathbf{D} & \cdot & \cdot\\ \hline \cdot & \cdot & \mathbf{D} & \cdot\\ \hline \cdot & \cdot & \cdot & \mathbf{D}\\ \hline \end{array}$$

Si tiene una mesa Cayley y los elementos en la parte superior están ordenados de la misma manera que los elementos en el costado (de modo que las entradas diagonales principales correspondan a$a*a$para cada$a$, y ya sabes que esta es la tabla de Cayley para un grupo, y todas las entradas de la diagonal principal son iguales, entonces esa entrada debe ser la identidad (ya que$e*e=e$retiene, por lo que cada entrada debe ser$e$).

Un grupo en el que cada elemento es su propio inverso debe ser abeliano: si$xx=e$para cada$x$, y$a$y$b$son dos elementos cualesquiera, entonces tenemos que$(a*b)^2 = e = e*e = a^2*b^2$. entonces tenemos

$$a*b*a*b = a*a*b*b$$ y multiplicando a la izquierda por $a$y a la derecha por $b$obtenemos $$b*a = a*b,$$ entonces el grupo es abeliano.

Para ver un ejemplo de un grupo donde sucede esto, considere la siguiente operación: voltear un colchón rectangular. Puede voltearlo de un extremo a otro; puedes girarlo sin cambiar lo que está encima; puedes voltearlo y rotarlo; o no puedes hacer nada. Cada uno de estos es un elemento de un grupo; si haces lo mismo dos veces seguidas, se cancelan. Entonces cada elemento del grupo es su propio inverso. No hay absolutamente ningún problema con eso: hay muchos grupos así.

Así es como se ven:

usemos$E$para denotar "Par", y$D$para denotar "Impar". Hacemos un grupo con un conjunto subyacente$\{E,D\}$, y agregue lo siguiente:$E+E = E$;$E+D=D+E=D$; y$D+D=E$. (Par más par e impar más impar son ambos pares; par más impar e impar más par o ambos impares).

Ahora deja$n\geq 1$, y deja$G$ser el conjunto de todos$n$-tuplas$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, dónde$x_i$es cualquiera$E$o$D$. Agregamos tuplas sumando componente por componente:

$$(x_1,x_2,\ldots,x_n) + (y_1,y_2,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n),$$ donde en cada componente vamos sumando siguiendo las reglas del párrafo anterior. Este es un grupo (tiene $2^n$elementos); el elemento de identidad del grupo es el elemento $(E,E,E,\ldots,E)$. Y en este grupo, cada elemento es su propio inverso: $(x_1,\ldots,x_n) + (x_1,\ldots,x_n) = (E,E,E,\ldots,E)$, no importa qué $x_i$es: si $x_i=D$, entonces $x_i+x_i = D+D=E$; si $x_i=E$, entonces $x_i+x_i = E+E=E$. Entonces, de cualquier manera, obtenemos la identidad.

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Sin embargo, si simplemente encuentra una "tabla de Cayley" en el suelo en la que todas las entradas de la diagonal principal son iguales, esto no es suficiente para decirle que tiene un grupo abeliano ante usted: la asociatividad no es fácil de determinar con solo mirar fijamente en la tabla, y es posible escribir la tabla de Cayley de una operación binaria en la que (i) cada elemento aparece exactamente uno en cada fila y en cada columna; (ii) las filas corresponden a elementos en el mismo orden que las columnas; (iii) todas las entradas de la diagonal principal son iguales; pero (iv) la tabla no corresponde a una operación asociativa (es decir, no tienes un grupo).

Aquí hay un ejemplo donde esto sucede:

$$\begin{array}{cc|c|c|c|} * && a & b & c\\ &&&&\\ \hline a && a & b & c\\ \hline b && c & a & b\\ \hline c && b & c & a\\ \hline \end{array}$$ Cada elemento aparece exactamente una vez en cada fila y cada columna, pero esta tabla no produce un grupo, porque la operación $*$define no es asociativo: $(b*c)*c = b*c = b$, pero $b*(c*c) = b*a = c$.

Lo que se describe aquí en términos de la pregunta "¿ Qué puedo decir sobre el conjunto si la mesa también tiene el elemento de identidad del conjunto que baja por la otra diagonal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha)?" me suena como dicha tabla podría ser una tabla XOR Cayley o al menos ese tipo de tabla podría ajustarse a la descripción de asociatividad y el segundo eje diagonal también sería simétrico.

Por ejemplo: en una tabla Hex Cayley de 16*16 que representa todos los posibles valores de salida XOR de dos caracteres hexadecimales XOR, donde las dos filas y columnas exteriores se convierten en los valores de búsqueda, y los 225 valores centrales son las salidas de cualquier ecuación XOR en el rango de 2 ^ 4, existen al menos dos configuraciones de este tipo que conozco (una que creé y la otra común que se ve aquí: https://i.stack.imgur.com/eIe24.png ) donde la diagonal principal se llena (simétricamente) solo con el valor de identidad 0, y la otra anti-diagonal se llena solo con el valor F.

Razonamiento : creo que esto ocurre porque exactamente la mitad de la mesa (en diagonal) es el espejo inverso de la otra mitad, pero también porque la mitad superior horizontal es también el espejo inverso de la mitad inferior. Esto permite realizar búsquedas no solo a lo largo de los bordes izquierdo y superior, sino también mediante el uso de los bordes derecho e inferior.

Notas: Además, si la longitud de la tabla es impar, entonces ambas diagonales se cruzan en la misma coordenada y, por lo tanto, solo una diagonal puede tener todos los valores únicos (de lo contrario, si ambas lo tienen, habrá valores duplicados por fila/columna en otro lugar), mientras que una la tabla con una longitud uniforme en cada lado debe tener diagonales diferentes para evitar un valor duplicado en la misma fila/columna, en términos de mantener una calidad abeliana.

Aquí hay un ejemplo básico de una tabla XOR cayley de longitud uniforme con diferentes diagonales que son simétricas en sus respectivas diagonales):

$$\begin{array}{c|c|c|c|} \oplus & \text{0} & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 3 & 2 \\ \hline \text{2} & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline \text{3} & 3 & 2& 1& 0 \\ \hline \end{array}$$

Cambiar las etiquetas de búsqueda hace que la simetría de la tabla sea más visible (donde A = 0, etc.):

$$\begin{array}{c|c|c|c|} \oplus & \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{B} & 1 & 0 & 3 & 2 \\ \hline \text{C} & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline \text{D} & 3 & 2& 1& 0 \\ \hline \end{array}$$

PD: agregué la tabla que creé a esta pregunta: https://crypto.stackexchange.com/questions/71288/how-many-possible-valid-xor-caley-hex-tables-are-there-in-a-1616