Monstruoso Moonshine fuera de la teoría de cuerdas

Esta es una muy buena pregunta y una que es bastante difícil de responder. En física, el uso de un grupo suele ser para describir una simetría del sistema físico. Lo que sabemos del monstruo es que tiene una acción no trivial en 196883 dimensiones. En otras palabras, el grupo Monster es la simetría de un objeto dimensional 196883. La esperanza de Monster moonshine para un teórico de cuerdas era que resaltaría algunas de las simetrías de la teoría de cuerdas, de las que sabemos muy poco.

Una aplicación que inmediatamente me viene a la mente es la teoría de la codificación y la corrección de errores y muchas otras bebidas ilegales (grupo Conway, grupo Mathieu) podrían arrojar luz sobre esta aplicación, pero hay algo de inspiración en la bebida ilegal Monster.

Veamos la red Leech,$\Lambda_{24}^L$. Es una red de 24 dimensiones, unimodular, incluso auto dual (cuyo grupo de automorfismos resulta ser$Co_0$, otro grupo esporádico). Cuando se toma la CFT de 24 bosones libres compactados en la red de Leech con otro$\mathbb Z_2$orbifold (que en realidad fue, creo, la primera construcción del orbifold asimétrico), el álgebra de operador de vértice resultante, conocida como álgebra de Griess, tiene un grupo de automorfismos que es el Monstruo. La función de partición de este VOA es la función de Klein$j-$función (menos una constante). Sin embargo, la red Leech tiene aplicaciones fuera de la configuración de la teoría de cuerdas. En teoría de la codificación/teoría de la información. El código Golay es el centro de atención aquí. es un código binario de 24 letras que es capaz de corregir tres errores. La versión extendida de este código de Golay, que es un código de 24 dimensiones, se puede incrustar naturalmente en la red de Leech, para la cual ya conocemos algunas propiedades teóricas de grupo. Este código de Golay, de hecho, aparece en el estado fundamental de Ramond-Ramond de$\mathcal N = 4$teoría de cuerdas con$K3$objetivo y, por lo tanto, está relacionado con Moonshine (Mathieu Moonshine). ( Harvey, et.al , Harvey, Moore (2020) ) Un uso realmente interesante del código Golay fue en el vuelo de la Voyager.

Estos códigos de corrección de errores también se pueden generalizar a representaciones de superálgebras. Un aspecto clave de esto es construir códigos de corrección de errores cuánticos cuyas representaciones se encuentran dentro de una red, cuyo grupo de automorfismos es un grupo esporádico. De esta forma, el alcohol ilegal tiene alguna aplicación fuera de la teoría de cuerdas. Hubo muchos matemáticos eminentes que pensaron que los grupos esporádicos no eran tan interesantes y que había problemas más desafiantes, y al mismo tiempo otros que trabajaron en grupos simples finitos que creían que era un problema esencial sin aplicaciones. física. Ambos grupos de matemáticos tienen/tenían razón y estaban equivocados hasta cierto punto.