¿Cómo se utilizan en física los determinantes funcionales de los operadores de tipo Laplace?

Su pregunta parece venir en dos partes. Primero, parece que el uso de determinantes funcionales para representar (formalmente) el resultado de tomar una integral de trayectoria puede ser nuevo para usted. ¿Es eso así? Si es así, entonces sugeriría leer sobre esta idea primero. Es más amplio que la regularización zeta. Una vez que se sienta cómodo con eso, le sugiero que piense en la segunda parte de su pregunta, que es cómo se usa la regularización zeta. Cae bajo el término general de regularización matemática de cantidades divergentes formales en QFT (a diferencia, por ejemplo, de Pauli-Villars, regularización dimensional, cortes de momento duro y otros esquemas de regularización motivados físicamente). Está estrechamente relacionado con el uso de técnicas de núcleo de calor en QFT. Conozco un libro completo sobre el tema en Amazon., y hay muchos artículos al respecto en arXiv. El hecho de que no implique realizar ningún cambio en el espacio-tiempo lo hace muy útil para aplicaciones que involucran espacio-tiempo con límites o extensión finita, por ejemplo, el efecto Casimir o las cadenas.

Editar: ahora tengo un poco de tiempo para ampliar este resultado.

Tú lo sabes

$$\int_{R} dx\,\exp(-\tfrac{1}{2}a x^2) = \sqrt{2\pi/a}\,.$$ Es fácil extender este resultado a $$\int_{R^n} d^nv\,\exp(-\tfrac{1}{2}v^i M_{ij} v^j) = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\det M}\,,$$ dónde $M$es un invertible $n\times n$matriz. Podemos extender formalmente este resultado al caso de dimensión infinita. Considere la acción $$S[\varphi] = \tfrac{1}{2}\int dx\,\partial\varphi(x) \cdot \partial\varphi(x) = -\tfrac{1}{2} \int dx\,dy\,\varphi(y) \delta(x-y)\partial_x^2 \varphi(x)$$ en la integral de trayectoria $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi] )\,.$$ Ya que formalmente hay una analogía entre los vectores $v^i$y $\phi(x)$y entre los operadores $M_{ij}$y $-\delta(x-y)\partial_x^2$, podemos suponer que $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi]) = \frac{A}{\det[-\delta(x-y)\partial_x^2]^{1/2}}\,,$$ donde ahora tenemos un determinante funcional. el numerador $A$representa una cantidad divergente y el determinante funcional también es divergente sin regularización. Podemos pensar en él como un producto infinito de valores propios. $$\det [-\partial^2] = \prod_{i=1}^\infty \lambda_i\,,$$ donde dejaremos caer $\delta(x-y)$porque sabemos que este operador es ``diagonal'' (es decir, local). Luego, construya el $\zeta$función asociada al operador $\mathcal{O}$cuyo determinante estamos calculando. $$\zeta_{\,\mathcal{O}}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_i^s}\,,$$ donde necesitamos $\lambda_i > 0$para todos $i$y ${\rm Re}\,s > 0$. La última restricción se puede relajar mediante la continuación analítica. Pero entonces $$\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(s) = -\sum_{i=1}^\infty \frac{\ln \lambda_i}{\lambda_i^s}$$ de modo que a través de la continuación analítica podemos calcular $\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(0) = - {\rm tr}\, \ln \mathcal{O} = -\ln \det \mathcal{O}$. Para el caso de dos placas paralelas infinitas en 3-dim. espacio, vemos que el número de onda está cuantificado en la dirección entre las placas, pero es continuo en las otras dos direcciones. Esto conduce a un espectro interesante para el operador laplaciano. Para ver la regularización zeta utilizada en el cálculo de su determinante funcional, consulte aquí .

forman la fórmula de Shothotsky$(x+i\epsilon)^{-1}=-i\pi \delta (x) +P(1/x)$

entonces$-\frac{1}{\pi}Imlogdet(\Delta +i\epsilon-E)= \sum_{n}H(E-E_{n})$

por lo que se puede usar logdet para obtener la escalera de valores propios para el operador laplaciano.