Derivación estándar del álgebra de Witt

Comentarios a la pregunta (v2):

1. Para ser específicos, supongamos que la variedad 2D subyacente es la esfera de Riemann $S^2\cong \mathbb{C}\cup\{\infty\}$.

2. El grupo de transformaciones conformes definidas globalmente (conectadas a la identidad) es el grupo de 6 dimensiones

   $${\rm Conf}_0(p,q)~\cong~SO^+(1,3)~\cong~PSL(2,\mathbb{C})$$ de las transformaciones de Moebius .

3. Hablando matemáticamente, se debe considerar el grupoide de transformaciones conformes definidas localmente. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

4. El álgebra de Witt (compleja) es el álgebra de Lie de campos vectoriales meromórficos en la esfera de Riemann$S^2$. Es también la complejización del álgebra de Lie de campos vectoriales sobre un círculo$S^1$.

5. Desde una perspectiva física, si por ejemplo pensamos en términos de una cadena cerrada en el formalismo del operador, es decir, una simple curva cerrada$\gamma\subset S^2$rodeando algún punto marcado$a\in S^2$, entonces por el teorema de mapeo de Riemann , podemos elegir un parche de coordenadas tal que$\gamma$es un círculo unitario en ese sistema de coordenadas.

6. Una serie de Laurent sobre el punto$a\in S^2$, que suponemos está definido en algún anillo $A \supset \gamma$, contendrá todas las deformaciones locales/modos de Fourier de la cuerda y, por lo tanto, es útil para una descripción física.

7. El punto$a$se asocia típicamente con el pasado infinito$\tau=-\infty$. Por cambio de coordenadas, podemos suponer$a=0$.

8. Una serie de Taylor (a diferencia de una serie de Laurent) sobre el punto$a$perderá, por ejemplo, la mitad de los modos de Fourier de la cadena.

9. Por otro lado, si la esfera de Riemann$S^2$tiene$n\geq 2$puntos marcados$a_i\in S^2$,$i\in\{1, \ldots, n\}$, correspondiente a$n$inserciones de operadores locales, luego en el$i$'th coordenada local barrio$U_i$alrededor$a_i$, una serie de Taylor es típica una descripción física adecuada.