CFT y el grupo conforme

Las ecuaciones 2-7 en la página 21 de estas notas, http://www.math.ias.edu/QFT/fall/NewGaw.ps , parecen dar una definición bastante compacta de lo que es una CFT.

Pero tengo dos preguntas,

  • Esta definición es específica para 2 dimensiones. ¿Existe un análogo de esta definición para dimensiones superiores?

  • Quiero saber si hay una definición equivalente de un CFT en términos del grupo conforme en la dimensión específica.

Me gustaría saber si puedo hacer una declaración precisa como esta (para cualquier dimensión), "CFT es un QFT tal que su espacio de Hilbert se divide en módulos de Verma y la función de correlación de sus campos primarios es invariante bajo el grupo conforme en esa dimensión".

¡Tenemos CFT de dimensiones impares y allí no sé qué es un "grupo conforme"!

Comentario menor a la publicación (v1): considere mencionar explícitamente el autor, el título, etc. del enlace, para que sea posible reconstruir el enlace en caso de que se rompa.

Respuestas (1)

El grupo conforme se define para cualquier espacio-tiempo que desee. El grupo conforme del espacio euclidiano d-dimensional, que tiene un grupo de isometría SO(d), es SO(d+1,1). El grupo conforme del espacio de Minkowski dimensional d+1, cuyo grupo de isometría es SO(d,1), es SO(d+1,2). La propiedad definitoria del grupo conforme es que es el conjunto de transformaciones que dejan la métrica gramo m v invariante hasta un factor de escala mi ω ( X ) .

Una definición más general para las CFT en d>2 dimensiones es que una CFT es una QFT cuyo espacio de Hilbert se divide en representaciones del grupo conforme y cuyas funciones de correlación son invariantes bajo cualquier transformación conforme (no creo que tengamos que restringirnos a operadores primarios).

El caso especial de dos dimensiones es que el álgebra conforme es infinitamente dimensional. El grupo de transformaciones conformes definidas globalmente sigue siendo finito, pero hay un número infinito de transformaciones conformes locales. Entonces, los CFT 2d están mucho más restringidos que los CFT de mayor dimensión.

Para una buena introducción, consulte https://sites.google.com/site/slavarychkov/

Aquí están mis 2 preguntas reformuladas mejor, (1) ¿No es cierto que el grupo conforme en ( d > 1 ) + 1 La variedad de Minkowski solo es localmente isomorfa a S O ( d + 1 , 2 ) y no a nivel mundial? (2) ¿Hay una prueba para ( d > 1 ) + 1 El espacio-tiempo minskowskiano que exige que el lagrangiano clásico sea invariante bajo los cambios de escala de Weyl de la métrica implica que el espacio de Hilbert de la QFT correspondiente se dividirá en S O ( d + 1 , 2 ) representaciones? [...AFAI ha visto que este vínculo crucial entre la imagen clásica y la cuántica solo se puede probar en superficies de Riemann con una métrica fija...]
¿También es cierto que en un espacio CFT de Hilbert todos los operadores serán operadores propios bajo conmutación con el operador de dilatación? (... porque cuando uno discute cuál es el estado de mayor peso en un módulo conforme, uno busca ese operador entre los operadores que conmutan con el K - y esa es la primaria...)
Para responder a su primera pregunta, sí, el isomorfismo es solo local (típicamente). El grupo conforme del espacio de Minkowski de 3+1 dimensiones está doblemente cubierto por SO(4,2), que a su vez está doblemente cubierto por SU(2,2). 2) Creo que los cambios de escala de Weyl son, en general, una bestia diferente a las transformaciones conformes (cambio de escala de transformaciones métricas frente a coordenadas) y no hay garantía de que un lagrangiano conforme invariante dé lugar a un CFT. En general, un lagrangiano clásicamente conforme invariante da lugar a una CFT solo si es un punto fijo del flujo RG (o típicamente que la función beta se desvanece)
Y sí, el espacio de Hilbert de una CFT, todos los operadores serán operadores propios del operador de dilatación. Básicamente, así es como se construye el espacio de Hilbert, comienza con los operadores primarios aniquilados por K y construye todos los demás estados en el módulo conforme a través de P.
¡Gracias por la respuesta! (1) Entonces, si SO(d+1,2) es solo un modelo local para lo que uno quiera llamar como el "grupo conforme" (el grupo de todos los difeomorfismos conformes - difeomorfismos que mantienen la métrica invariante hasta un cambio de escala de Weyl) entonces ¿Por qué el espacio de Hlbert de la CFT debería dividirse bajo sus representaciones? Se supone que los QFT ven el espacio-tiempo completo y no solo un grupo de simetría local, ¿verdad? Entonces, estamos diciendo que no importa cuán complicada sea la topología del espacio-tiempo, una CFT tendrá su espacio de Hilbert dividido bajo S O ( 2 , d + 1 ) !
(2) Ver el problema con el cambio de escala de Weyl es bastante serio para mí, porque clásicamente cuando se piensa en un CFT en ( d > 1 ) + 1 eso es lo que siempre hacemos, escribimos un Lagrangiano invariante de Weyl, y luego, como un QFT, pensamos que es un espacio de Hilbert para dividir bajo S O ( 2 , d + 1 ) - ¡Se necesita saber que esto en efecto sigue!
(3) ¿Tiene una referencia donde se demuestre que todos los estados en un espacio CFT de Hilbert serán operadores propios bajo el generador de dilatación? ¡Nunca había visto una prueba así! (... todos los argumentos comienzan asumiendo que existe tal espacio propio de dilatación para un CFT y luego uno busca el más bajo entre ellos y ese es el que conmuta con K y se llama el principal ..)
1) Estás confundiendo grupos de simetría locales con isomorfismos locales. Una simetría local es una simetría cuyo parámetro cambia en función del espacio-tiempo (piense en la simetría de calibre U(1) local). Estoy diciendo que como variedades de grupo, SO(d+1,1) es localmente isomorfo al grupo conforme del espacio euclidiano d-dimensional. No es más misterioso que el círculo (que es lo mismo que U(1)) es localmente isomorfo a la línea real (que también forma un grupo bajo la suma). Globalmente difieren, pero si nos preocupan las pequeñas transformaciones globales, podemos ignorar las diferencias.
2 y 3) Creo que una afirmación general es que el espacio de Hilbert de una teoría con una simetría, es decir, un grupo de transformaciones que dejan invariante la funcional generatriz de las funciones de correlación, se descompone como representaciones de esa simetría. Buscaría en el texto de Howard Georgi sobre Álgebras de mentira y teoría de grupos para una discusión sobre esto, pero no conozco ninguna otra referencia (sin embargo, buscaré). Una vez más, un lagrangiano clásicamente conforme invariante no siempre da lugar a una CFT, pero si lo hace, la afirmación anterior debería ser válida.
En cuanto a topologías de espacio-tiempo más complicadas, no tengo nada inteligente que decir entonces que el grupo conforme ya no será SO(d+1,2), que solo es válido para el espacio de Minkowski d+1. Dicho esto, el espacio euclidiano d-dimensional es conformemente equivalente a la esfera d-dimensional, por lo que, en la mayoría de los casos, esto no es realmente un problema.
Creo que te estás perdiendo el punto: tienes razón en que "el espacio de Hilbert de una teoría con una simetría, es decir, un grupo de transformaciones que dejan invariante el funcional generador de las funciones de correlación, se descompone como representaciones de esa simetría" - PERO - si una acción es invariante bajo difeomorfismos conformes entonces S O ( 2 , d + 1 ) NO es el grupo de transformaciones de simetría completa (¡es solo tan localmente!), Entonces, ¿por qué el espacio de Hilbert todavía se divide bajo sus representaciones? (...y esto sucede independientemente de la topología de la localmente d + 1 -espacio-tiempo minkowskiano - ¿no?...)
Ok, tu pregunta es realmente sobre CFT en espaciotiempos no triviales. Ahora, como dijiste, los difeomorfismos conformes no dan el grupo de simetría completo, pero son una simetría de la teoría y deberían haberse representado en el espacio de Hilbert. Ahora, si su CFT vive en una geometría no trivial, ha agregado restricciones de grandes difeomorfismos, como la invariancia modular si su teoría vive en el toro. Sin embargo, estas situaciones generalmente no se consideran en d>2 CFT porque, aunque puede hacer que su CFT viva en un toro d-dimensional y requiera que sea invariante bajo SL (d, Z) grandes diferencias
pero no hay una conexión simple con las dimensiones de los operadores porque normalmente cuantificamos radialmente. 2d es especial aquí porque T2=S1xS1. Podría considerar que su teoría vive en el espacio euclidiano d-dimensional multiplicado por el círculo y esto brinda restricciones adicionales (invariancia modular generalizada) de la teoría del campo de temperatura finita. También podría considerar que su teoría vive en la esfera d pero es conformemente equivalente al espacio plano. En su mayor parte, verá que la literatura sobre d>2 CFT está restringida al espacio plano, el espacio con límites y las esferas.
Le recomendaría que consulte arxiv.org/pdf/1101.4163v2.pdf , es el único documento que toca la invariancia modular generalizada.
CFT y el grupo conforme
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v