Grupo conforme global en espacio euclidiano 2D

Esto se explica, por ejemplo, en la Ref. 1:

1. Las compactaciones conformes de los$1\!+\!1D$El avión de Minkowski (M) y el$2\!+\!0D$plano euclidiano (E) son$^1$

   $$\overline{\mathbb{R}^{1,1}}~\cong~\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1 \tag{1M}$$ y $$\overline{\mathbb{R}^{2,0}}~\cong~\mathbb{S}^2, \tag{1E}$$ respectivamente.

2. Los grupos conformes (globales) son

   $${\rm Conf}(1,1)~\cong~O(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\tag{2M}$$ y $${\rm Conf}(2,0)~\cong~O(3,1;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}, \tag{2E}$$ con 4 y 2 componentes conectados, respectivamente.

3. Los componentes conectados correspondientes conectados a la identidad son

   $$\begin{align}{\rm Conf}_0(1,1)~\cong~&SO^+(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{R})\times PSL(2,\mathbb{R}) \end{align}\tag{3M}$$ y $$\begin{align} {\rm Conf}_0(2,0)~\cong~&SO^+(3,1;\mathbb{R})\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{C}), \end{align}\tag{3E}$$ respectivamente. Aquí$PSL(2,\mathbb{F})\equiv SL(2,\mathbb{F})/\{\pm {\bf 1}_{2\times 2}\}$. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Referencias:

1. M. Schottenloher, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Subsecciones 1.4.2-3, Secciones 2.3-5, 5.1-2.

--

$^1$Con más detalle la compactación conforme de la$1\!+\!1D$El avión de Minkowski es

El álgebra conforme global complejizada se genera de hecho (sobre$\mathbb{C}$) por$L_0,L_{\pm 1},\bar L_0, \bar L_{\pm 1}$. Pero el verdadero álgebra conforme global es$sl(2,\mathbb{C})$, con los generadores (más$\mathbb{R}$)