Momento esperado electrón en estado fundamental en el átomo HH\rm H

quiero calcular ⟨ pag X ⟩ y ⟨ pag X 2 ⟩ para electrones en estado fundamental H átomo.

función radial

ψ ( r ) = A mi − r / a
Operador Momentum en 3D:
pag → ^ = ℏ i ( ∂ ∂ X , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) = ℏ i ∇
Operador de momento 1D:
pag ^ X = ℏ i d d X ⟨ pag X ⟩ = ∫ V ψ ∗ ( r ) ∗ pag ^ X ∗ ψ ( r ) d V
Intuitivamente, ⟨ pag X ⟩ = 0 pero como lo calculo ¿Debo cambiar el operador por uno expresado en coordenadas esféricas o algo más? Y para ⟨ pag X 2 ⟩ Simplemente elevaría al cuadrado el operador de impulso y lo usaría en su lugar.

La integral realmente no es tan difícil de calcular en coordenadas cartesianas, ¿cuál es exactamente la dificultad que enfrenta?
La dificultad que tengo es que mi operador está en coordenadas xyz pero mi función depende radialmente de (r). Entonces, ¿cómo puedo calcularlo? ¿O puedo simplemente usar r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) sustituirlo en función radial construir la integral y calcularla?
Use la regla de la cadena para obtener la derivada de psi(r(x)), que es más fácil que sustituir r . Necesitarás la regla de la cadena para funciones de más de una variable.
Ouch mi mal sobre el ∇ por supuesto que no lo es. Pero, ¿podría @EmilioPisanty por favor ayudarme con el problema? Todavía estoy perdido en eso.

Respuestas (1)

Para un estado esféricamente simétrico:

  • ⟨ pag X ⟩ = 0 por simetría de paridad. Esto se puede probar rigurosamente, cambiando las variables r → ↦ − r → y mostrando el valor esperado deben cambiar de signo y permanecer sin cambios.
  • Los tres componentes cuadrados, ⟨ pag X 2 ⟩ , ⟨ pag y 2 ⟩ y ⟨ pag z 2 ⟩ , debe ser igual, por lo tanto ⟨ pag X 2 ⟩ = 1 3 ⟨ pag 2 ⟩ . Este último se puede evaluar directamente usando la expresión de coordenadas esféricas para el laplaciano.

El resto del trabajo es para que lo hagas tú.

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