¿Dónde se equivocó al calcular el valor esperado del impulso al cuadrado?

Tengo la respuesta correcta excepto con signo negativo.

La función de onda se da como,

$$\Phi=A\exp\left[-a\left(\frac{mx^2}{\hbar} + it\right)\right]$$

Al elevar al cuadrado la cantidad de momento, encontré que el valor esperado del momento al cuadrado es$\langle-\hbar^2\frac {\partial^2}{\partial x^2}\rangle$.

Luego calculé la segunda derivada de$\Phi$y descubrí que era

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=A\exp\left[-a\left(\frac{mx^2}{\hbar} + it\right)\right]\cdot\left[4\left(\frac {am}\hbar\right)^2x^2-\left(\frac {am}\hbar\right)\right].$$

Por lo tanto, el valor esperado se puede escribir como

$$-\hbar^2 4\left(\frac {am}\hbar\right)^2(\int \Phi^*(x^2)\Phi\mathop{}\!\mathrm dx -\frac {am}\hbar\int \Phi^*\Phi \mathop{}\!\mathrm dx)$$

$\int \Phi^*(x^2)\Phi\mathop{}\!\mathrm dx$es solo el valor esperado para$x^2$, y la otra integral es solo 1 (ya que la función de onda está normalizada).

Previamente encontré el valor esperado.$x^2$ser$\frac \hbar{4ma}$.

El valor esperado de la cantidad de movimiento al cuadrado debe entonces simplificarse a

$$-\hbar^2 4\left(\frac {am}\hbar\right)^2\cdot(\frac \hbar{4ma}-\frac {am}\hbar)=-\hbar am +4a^3m^3$$ La respuesta dada es $$\hbar am.$$