¿Cómo aplicar el operador de impulso en una función de onda?

Question

¿Cómo aplicar el operador de impulso en una función de onda?

Cachemira

¿Cómo aplicamos el operador de cantidad de movimiento en una función de onda?

Wikipedia dice

el operador de cantidad de movimiento se puede escribir en la base de posición como: ${ }^{[2]}$
$\hat{pag} \mapsto - i ℏ \nabla$ $\hat{\mathbf{p}}\mapsto -i \hbar \nabla$ dónde $\nabla$ es el operador de gradiente, $\hbar$ es la constante de Planck reducida, y $i$ es la unidad imaginaria.

¿Significa esto que

- i ℏ \nabla ψ = - i ℏ (\hat{i} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \hat{ȷ} \frac{\partial}{\partial y} ψ + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} ψ) ?

$-i \hbar \nabla \psi=-i \hbar\left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\hat{\jmath} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)~?$

No estoy seguro de que esto sea correcto porque encontré una expresión en mi libro $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ . Dado que un operador que actúa sobre un ket da un ket, entonces el lhs es un ket de $\langle r$ y $\hat{p}|\psi\rangle$ por lo tanto, un escalar pero el rhs según la definición de Wikipedia será un vector.

¿Alguien puede ayudarme por favor?

Mirae

Eso es correcto, así lo hacemos en coordenadas cartesianas. Debería poder hacerlo fácilmente desde aquí si está familiarizado con los operadores de gradiente.

K7PEH

Si está leyendo el artículo de Wikipedia sobre el operador de impulso, la respuesta a su pregunta se encuentra en ese artículo. ¿No leíste todo el artículo?

Cachemira

@Mirae encontré esta expresión en mi libro

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ El lhs es un escalar porque es un soporte y el rhs es un vector.

Cosmas Zachos

@Kashmiri the lhs es un escalar de espacio de Hilbert, pero un vector de grupo de rotación (recordando el impulso en negrita), ¡y también lo es el rhs! ¿ Estás confundido acerca de eso ?

Cachemira

@CosmasZachos, sí, he hecho qm en una dimensión ahora comencé a aprender sobre eso en 3d. He aprendido que un operador actuando sobre un ket da un ket, por lo que de acuerdo a eso el lhs será un ket de

⟨ r

$\langle r$ y

\hat{p} | ψ ⟩

$\hat{p}|\psi\rangle$ por lo tanto un escalar. Sin embargo, el rhs es un vector ya que tiene un operador de gradiente.

Cosmas Zachos

Como dije, hay dos tipos de vectores : ¡Estado y rotacional!

Tobias Funke

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Respuestas (2)

¿Cómo aplicar el operador de impulso en una función de onda?

Eso es correcto, así lo hacemos en coordenadas cartesianas. Debería poder hacerlo fácilmente desde aquí si está familiarizado con los operadores de gradiente.
Si está leyendo el artículo de Wikipedia sobre el operador de impulso, la respuesta a su pregunta se encuentra en ese artículo. ¿No leíste todo el artículo?
@Mirae encontré esta expresión en mi libro $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ El lhs es un escalar porque es un soporte y el rhs es un vector.
@Kashmiri the lhs es un escalar de espacio de Hilbert, pero un vector de grupo de rotación (recordando el impulso en negrita), ¡y también lo es el rhs! ¿ Estás confundido acerca de eso ?
@CosmasZachos, sí, he hecho qm en una dimensión ahora comencé a aprender sobre eso en 3d. He aprendido que un operador actuando sobre un ket da un ket, por lo que de acuerdo a eso el lhs será un ket de $\langle r$ y $\hat{p}|\psi\rangle$ por lo tanto un escalar. Sin embargo, el rhs es un vector ya que tiene un operador de gradiente.
Como dije, hay dos tipos de vectores : ¡Estado y rotacional!

Cosmas Zachos · Answer 1

Cosmas Zachos

Me dirijo al corazón de su perplejidad, en mi opinión. Su "?" la expresión está bien.

Encontré esta expresión en mi libro ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩. El lhs es un escalar porque es un sujetador | ket y el rhs entonces es un vector.

Vector en este contexto significa dos cosas diferentes: un ket es un vector espacial de Hilbert, posiblemente de dimensión infinita, que se transforma bajo operadores $\hat O$ , mientras que un producto escalar de él con un sostén produce un espacio escalar de Hilbert.

Sin embargo, a diferencia de eso, un vector de rotación es un triplete que se transforma bajo el grupo de rotación 3d, una matriz de rotación de 3×3. Un escalar de rotación no se altera bajo tal rotación.

Por lo que entonces, $\langle {\mathbf r}| \hat x |\psi\rangle = x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ es un escalar HS; y tambien $\langle {\mathbf r}| \hat y |\psi\rangle = y \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ y $\langle {\mathbf r}| \hat z |\psi\rangle = z \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ . El triplete de estos tres escalares HS constituye un vector de rotación,

⟨ r | \hat{r} | ψ ⟩ = r ⟨ r | ψ ⟩,

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf r} |\psi\rangle = {\mathbf r} \langle {\mathbf r}|\psi\rangle,$ simplemente porque estos tres escalares HS giran entre sí bajo una rotación espacial 3d, como los componentes de un vector clásico. Entonces ambos lados son escalares HS y vectores de rotación.

Ahora puede repetir esto con los tres componentes cartesianos del operador de cantidad de movimiento, $\langle {\mathbf r}| \hat p_x |\psi\rangle = -i\hbar \partial_x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ , etc., que, nuevamente, se apilan en la expresión de 3 vectores que viste en el libro de Townsend, ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩, nuevamente un triplete de escalares HS que se transforman como un vector bajo rotaciones 3d. Los vectores HS que entraron en estos escalares son aquí de dimensión infinita, lo cual es evidente por el hecho de que los gradientes continuos actúan sobre ellos.

⟨ r | \hat{pag} | ψ ⟩ \equiv ⟨ r | (\begin{matrix} {\hat{pag}}_{X} \\ {\hat{pag}}_{y} \\ {\hat{pag}}_{z} \end{matrix}) | ψ ⟩ = - i ℏ (\begin{matrix} \partial_{X} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{matrix}) ψ (r) \equiv - i ℏ \nabla ψ (r) .

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}|\psi\rangle \equiv \langle {\mathbf r}|\begin{pmatrix} \hat p_x \\ \hat p_y \\ \hat p_z \end{pmatrix} |\psi\rangle= -i\hbar \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \psi ({\mathbf r})\equiv -i\hbar \nabla \psi ({\mathbf r}).$

NB La expresión correcta para el operador de momento en la representación de coordenadas es en realidad

\hat{pag} = - i ℏ \int d^{3} r | r ⟩ \nabla ⟨ r |,

$\hat {\mathbf p}= -i\hbar \int\!\! d^3 {\mathbf r} ~ |{\mathbf r}\rangle \nabla \langle {\mathbf r}|,$ un operador espacial de Hilbert y un vector rotacional ya que está en negrita . ¡La expresión sin sentido en su comentario no corresponde a la expresión correcta de Townsend!

Cachemira

Usando el formalismo del producto tensorial en el que

\hat{P} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ encontré

⟨ r | \hat{PAG} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial y} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial z} ψ) .

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right).$ . Esto no tiene ningún vector de unidad espacial. Pero en la mecánica cuántica de Townsend dice que

⟨ r | \hat{pag} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Esto tiene vector de unidad espacial

Cosmas Zachos

Lo que encontraste está muy mal. Nunca debe agregar los tres componentes del vector espacial en el lhs. Debe organizarlos en un vector de rotación que especifica Townsend. Está en negrita. ¿Entiendes lo que significa?

Cachemira

Pero

⟨ r | \hat{PAG} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial y} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial z} ψ)

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ sigue desde

\hat{PAG} | ψ ⟩ = ({\hat{PAG}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$

Cosmas Zachos

tu sin negrita

\hat{P}

$\hat P$ es una tontería sin sentido, como expliqué. Le expliqué que necesita un vector de rotación en negrita

\hat{p}

$\hat {\mathbf p}$ , en cambio. Deja de usar símbolos sin sentido. Townsend no lo hizo, y yo no lo hice, y tú no deberías.

Cosmas Zachos

Tu 𝑃̂ sin negrita es una tontería indefinible y sin sentido, como expliqué. Le expliqué que, en cambio, necesita un operador de vector rotacional 𝐩̂ HS en negrita. Actualicé mi respuesta para abordar su dilema.

Cachemira

Gracias. Entiendo por qué tenemos una expresión de vector rotacional pero todavía tengo una duda. Por favor, ayúdame.

Cachemira

En el formalismo del producto tensorial tenemos

\hat{pag} | ψ ⟩ = ({\hat{PAG}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{\mathbf p}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ Si este paso es correcto entonces se sigue que

⟨ r | \hat{pag} | ψ ⟩ = (\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial y} ψ + \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial z} ψ)

$\langle {\mathbf r}|\hat{\mathbf p}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ lo que dijiste está mal. ¿Qué salió mal en esta derivación?

Cosmas Zachos

Su punto de partida es incorrecto: no es una suma de tres términos, sino un vector con esos como componentes; el que escribí.

Cachemira

Entonces puedo escribir

\begin{aligned} \hat{pag} & = {\hat{mi}}_{X} ({\hat{pag}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{mi}}_{y} (1 \otimes {\hat{pag}}_{y} \otimes 1) \\ + {\hat{mi}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{pag}}_{z}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$

Cosmas Zachos

Sí, básicamente. Pero tenga en cuenta que los primeros signos de intercalación significan un vector de rotación unitario y el segundo un operador HS, como otros le han estado advirtiendo. Entiendo lo que quieres decir, ¡pero la mayoría de los lectores se estremecen!

Cachemira

Si

\begin{aligned} \hat{pag} & = {\hat{mi}}_{X} ({\hat{pag}}_{X} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{mi}}_{y} (1 \otimes {\hat{pag}}_{y} \otimes 1) \\ + {\hat{mi}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{pag}}_{z}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$ entonces que es

{\hat{pag}}^{2} | ψ ⟩

$\hat{\mathbf p}^2|\psi\rangle$ ?

Cosmas Zachos

Bueno, el cuadrado de un vector en negrita es un operador escalar en cuanto a la rotación, por lo que

⟨ r | {\hat{p}}^{2} | ψ ⟩ = - ℏ^{2} \nabla^{2} ψ (r)

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}^2 |\psi\rangle = -\hbar^2 \nabla^2 \psi({\mathbf r})$ . Los vectores unitarios de posición desaparecen.

Cachemira

Entonces, ¿es correcto escribir

\begin{aligned} \hat{p} . \hat{p} & = [{\hat{e}}_{x} ({\hat{p}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{y} (1 \otimes {\hat{p}}_{y} \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{p}}_{z})]^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} .\hat{\mathbf p}&=[\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) ]^2\end{aligned}$

= ({\hat{p}}_{x}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{y}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{z}^{2} \otimes 1 \otimes 1)

$=(\hat{p}_{x}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{y}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{z}^2\otimes 1\otimes 1)$

Cosmas Zachos

Sí, lo es. Rotacionalmente, esto es un escalar. En cuanto a HS, es un operador.

Cachemira

Muchas gracias profesor. :)

mis2cts · Answer 2

mis2cts

Esto es correcto. Sin embargo, su notación no es consistente. No hay razón para un 'sombrero' encima de $\bf p$ y $\hat P$ también podría ser reemplazado por $\bf p$ .

garyp

Puedo estar equivocado, pero parece que el OP está usando el quilate para indicar un operador abstracto.

mis2cts

@garyp También lo usa para indicar un vector unitario. También necesitaba usar al menos 30 caracteres.

Cachemira

Encontré esta expresión en mi libro.

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ El lhs es un escalar porque es un soporte y el rhs es un vector.

garyp

El lhs parece un "vector de escalares", por así decirlo. Creo que todos podemos estar de acuerdo en que la notación no es estándar. Tengo curiosidad: ¿qué libro?

Cachemira

@garyp, mecánica cuántica de Townsend