¿Dónde P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( x) viene?

Question

¿Dónde P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( x) viene?

turrón

Es una pregunta muy básica, ¿dónde está la relación

\hat{PAG} ψ (X) = - i ℏ \partial_{X} ψ (X)

$\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi(x)$ para cualquier cuadrado integrable

ψ (x)

$\psi(x)$ llegado a existir? Algunos textos que encontré afirman que la relación anterior surge como consecuencia de que el impulso se define como generador de traducción. Pero, ¿cuál es la base de esta definición? Si el impulso se hubiera definido como generador de otra forma de simetría, entonces no habría tenido la forma que tiene ahora.

En algún otro texto, es al revés. Es decir, la acción del impulso sobre una función de onda se define como

\hat{PAG} ψ (X) = - i ℏ \partial_{X} ψ (X)

$\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi(x)$ y de allí conduce a que el impulso sea el generador de la traducción.

¿Cuál es el correcto? ¿Cómo se desarrolló históricamente tal acción del impulso sobre la función de onda?

qmecanico

Más sobre el operador de momento en QM .

turrón

Algunas de las respuestas allí trajeron el conmutador entre x y p. Pero como explicó knzhou a continuación, este conmutador también se postuló de la nada. Tengo reserva para esto, quisiera saber porque postularon ese conmutador.

cachonda

@nougako Creo que de la nada es un poco duro. Creo que Schrodinger se motivó inicialmente para formar su ecuación de onda por las ideas de ondas de partículas de De Broglie, por lo tanto, consideró las ondas planas y postuló que las ideas se generalizan. Heisenberg, por otro lado, estaba pensando en matrices, creo que porque algunas de las ecuaciones con las que estaba trabajando parecían multiplicaciones de matrices. Si tiene matrices y quiere verificar si conmutan, observa los conmutadores y

i ℏ

$i\hbar$ fue consistente para

x

$x$ y

p

$p$ . -Añadir fuentes

Respuestas (5)

¿Dónde P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( x) viene?

Algunas de las respuestas allí trajeron el conmutador entre x y p. Pero como explicó knzhou a continuación, este conmutador también se postuló de la nada. Tengo reserva para esto, quisiera saber porque postularon ese conmutador.
@nougako Creo que de la nada es un poco duro. Creo que Schrodinger se motivó inicialmente para formar su ecuación de onda por las ideas de ondas de partículas de De Broglie, por lo tanto, consideró las ondas planas y postuló que las ideas se generalizan. Heisenberg, por otro lado, estaba pensando en matrices, creo que porque algunas de las ecuaciones con las que estaba trabajando parecían multiplicaciones de matrices. Si tiene matrices y quiere verificar si conmutan, observa los conmutadores y $i\hbar$ fue consistente para $x$ y $p$ . -Añadir fuentes

knzhou · Answer 1

knzhou

Históricamente, probablemente desee comenzar con las relaciones de De Broglie (es decir, $p = \hbar k$ ), que son solo una suposición descabellada. Inmediatamente aparece la forma de $p$ como operador si la función de onda es una onda plana.

Matemáticamente, $p$ debe definirse como el generador de traslaciones (o de manera equivalente, la cantidad conservada correspondiente a la invariancia traslacional), de la que derivamos su acción sobre las funciones de onda como $-i\hbar \partial_x$ . Puede hacerlo de otra manera (lo que es logísticamente más fácil para algunos libros de texto), pero eso es incómodo.

Físicamente, no importa. Usted pregunta, "¿qué pasaría si el impulso se definiera como el generador de alguna otra simetría?", Pero esto no es el punto, porque entonces representaría una cantidad física diferente. Lo único importante es que el impulso es la cantidad de "empuje" que tiene una partícula cuando choca contra algo, y puedes derivarlo de cualquiera de las tres opciones anteriores.

knzhou

(Creo que hay un concepto erróneo similar detrás de su pregunta por un "desarrollo histórico". Podría pensar que es como las matemáticas, donde las personas acumulan lemas y finalmente prueban un gran teorema. Eso es al revés: QM no se desarrolló históricamente. Schrodinger postuló su ecuación fuera de la nada. El desarrollo se completó después.)

turrón

Todavía no entiendo cómo debo conectar su primera explicación sobre la hipótesis de De Broglie y el resto de su explicación. En cuanto a mi propia opinión de su respuesta, parece que el primer párrafo es suficiente para explicar la historia. Me imagino que la hipótesis de De Broglie se probó por primera vez y resultó ser un éxito. Esto implica que el operador de cantidad de movimiento que actúa sobre una onda plana viene dado por la derivada de esa onda plana. Entonces la gente hizo una inducción, ¿qué pasa si generalizamos esta relación a cualquier función de onda y la probamos? También resulta ser exitoso, por lo que la gente usa esta relación hasta ahora.

knzhou

@nougako Otro desarrollo histórico concurrente fue la mecánica matricial de Heisenberg, donde postularon

[x, p] = i ℏ

$[x, p] = i \hbar$ de la nada. (Esto es 100% equivalente a

p = - i ℏ \partial_{x}

$p = -i\hbar \partial_x$ por el teorema de Stone-von Neumann.)

knzhou

@nougako Pero el punto de mi respuesta es que realmente no hay lógica aquí: el contenido solo se postula. Son conjeturas inspiradas.

turrón

Muy bien, al menos mencionar que la relación de conmutación que se plantea como hipótesis me da algo de luz sobre la historia. Pero estoy seguro de que no fue realmente "de la nada". Para mí, debe haber habido alguna conjetura educada detrás de la propuesta de esa conmutación. ¿Podría ser que en realidad estaban tratando de imitar el resultado de la mecánica clásica sobre el soporte Possion entre

q

$q$ y

p

$p$ en QM para ver si funcionó?

knzhou

@nougako No, eso fue descubierto por Dirac unos años después (ver aquí ). Cuanto más retrocedes en la historia, ¡menos sentido tiene!

turrón

Entonces, ¿en realidad hubo un aspecto de los juegos de azar detrás del desarrollo de la física y las tecnologías en este momento? No creo que haya cero razones para que los físicos propongan un determinado postulado. Debe haber alguna motivación que los inspire a postular

[x, p] \propto ℏ

$[x,p] \propto \hbar$ .

knzhou

@nougako Me hiciste investigar; ¡Mira esto ! Era para ajustarse a los espectros atómicos. Parte de la motivación vino de la 'vieja teoría cuántica'. Algunas partes son sorprendentemente proféticas. Pero mucho de eso es redundante, o simplemente está lógicamente en el lugar equivocado.

curioso

Parece que estás poniendo los ojos en blanco cuando dices que en ese entonces eran conjeturas descabelladas. :-) Tal vez uno debería dar un paso atrás un poco más y mirar la escala de tiempo... tomó alrededor de 240 años desde que Newton explicó cómo se mueve la materia hasta los fundadores de la mecánica cuántica diciéndonos con una mano agitando por qué existe la materia estable. Todavía no sabemos exactamente qué es realmente la materia... incluso el período de adivinanzas que está cubriendo aquí tomó, en realidad, unos 20 años.

turrón

@knzhou, gracias por la referencia. Pero, ¿podría mencionar qué parte de ese manuscrito habla precisamente sobre el ajuste de espectros atómicos?

una mente curiosa

Esta respuesta es correcta, pero me gustaría aún más si enfatizara más el punto de que la definición misma (ya clásica) de "momentum" es que es la cantidad conservada asociada a las traslaciones , y que las cantidades conservadas generan sus simetrías en la formulación hamiltoniana.

Valerio · Answer 2

Momentum es el generador de traslaciones espaciales, incluso en la física clásica. De todos modos, puedes encontrar una derivación aquí o en el libro Modern Quantum Mechanics de Sakurai . Son más o menos iguales y van así:

El operador de traducción es el operador $T( a)$ tal que

T (a) ∣ X ⟩ =∣ X + a ⟩

$T( a) \mid x \rangle = \mid x+a\rangle$

De la definición se sigue que el adjunto de $T$ realiza una traducción hacia atrás:

T^{†} (a) ∣ X ⟩ =∣ X - a ⟩

$T^\dagger(a) \mid x \rangle = \mid x-a\rangle$

Por supuesto, debemos exigir que si traducimos y luego volvemos a traducir, el estado no cambia:

T^{†} (a) T (a) ∣ X ⟩ =∣ X ⟩

$T^\dagger(a) T(a) \mid x \rangle = \mid x \rangle$

De lo que se sigue que $T$ debe ser unitario: $T^\dagger=T^{-1}$

Cualquier operador unitario se puede escribir en la forma

T (a) = {mi}^{- i k a}

$T(a) =e^{-iKa}$

con $K$ hermitiano Ahora encontrará que los estados propios de $K$ en la base de posición son ondas planas:

⟨ X ∣ k ⟩ = ψ_{k} (X) \sim {mi}^{i k X}

$\langle x \mid k \rangle = \psi_k(x) \sim e^{ikx}$

Ahora (y este es el pasaje crucial), entra en juego la hipótesis de De Broglie:

pag = ℏ k

$p = \hbar k$

de modo que

T (a) = {mi}^{- i PAG a / ℏ}

$T(a)=e^{-iPa/\hbar}$

Y con algunas matemáticas (los pasajes están en el artículo que vinculé) puedes demostrar que

PAG ψ (X) = ⟨ X ∣ PAG ∣ X ⟩ = - i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial X}

$P \psi(x) = \langle x \mid P \mid x \rangle = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}$

La hipótesis de De Broglie no es estrictamente necesaria. Por ejemplo, Sakurai observa que para una traducción infinitesimal tienes

T (d X) = 1 - i k d X

$T(dx) = 1-i K dx$

y que en la mecánica clásica la función generadora de la traslación infinitesimal

X^{'} = X + d X

$x'=x+dx$

{pag}^{'} = pag

$p'=p$

es

F (X, {pag}^{'}) = X {pag}^{'} + pag d X

$F(x,p')=x p'+ p dx$

dónde $xp'$ es la función generadora de la transformación de identidad. De la similitud entre $F(x,p')$ y $T(dx)$ luego especula que $K$ está relacionado con el impulso, y dado que $K \ dx$ debe ser adimensional debemos tener

k = \frac{PAG}{constante con dimensiones de una acción}

$K=\frac{P}{\text{constant with dimensions of an action}}$

Resulta de los experimentos que nuestra constante es exactamente $\hbar$ .

Básicamente, comienza definiendo el operador de momento como un generador de traducción en QM. Mi pregunta original es ¿por qué es así? ¿Por qué, en QM, uno puede definir el impulso como un generador de traslación como lo es en la mecánica clásica? Lo que me gustaría saber de usted es, ¿simplemente tomaron una correspondencia entre QM y CM al definir el impulso como tal?
@nougako Estoy bastante seguro de que este es todo el proceso de cuantificación que sugiere Dirac. Tome un sistema clásico y reemplace la posición y el momento con operadores que satisfagan las relaciones canónicas de conmutación. Incluso el operador hamiltoniano proviene de la idea clásica de energía, partícula única, por ejemplo $E=p^2/2m+U\to \hat{H}=\hat{P}^2/2m+\hat{U}$
Espera, espera: nadie está definiendo $P$ como generador de traslaciones espaciales. Simplemente definimos un operador de traducción $T$ , de donde sale un generador $K$ sale. Entonces encontramos que las funciones propias de $K$ en la base de posición son ondas planas y así descubrir que sus valores propios son números de onda. Diez usamos la hipótesis de De Broglie para vincular $K$ a $P$ .
Además, @snulty tiene razón: el proceso de cuantización es solo esto, reemplazando funciones clásicas con operadores. Las simetrías y sus generadores permanecen exactamente iguales (por ejemplo, el momento angular $\to$ simetría rotacional) pero ya no son funciones sino operadores en QM. Después de todo, QM se construyó a partir de la formulación hamiltoniana de CM. En realidad, diría que si aprendes muy bien el CM hamiltoniano, el paso a QM es casi trivial.
La hipótesis de DeBroglie es una pista falsa. Momentum es el generador de traslaciones porque "momentum", por su propia definición, es la carga de Noether de la simetría de traslación, y las cargas de Noether generan sus simetrías en la formulación hamiltoniana (¡ya puramente clásica!), y es la formulación hamiltoniana la que cuantificamos .
Escribí en mi respuesta que la hipótesis de De Broglie no es estrictamente necesaria.
@ACuriousMind Su comentario aquí es cierto, pero siento que trivializa injustamente la pregunta. Vale la pena señalar que lo que queremos decir con un "generador" en el formalismo hamiltoniano de la física clásica es significativamente diferente de lo que queremos decir en la mecánica cuántica. Para hacer la conexión, debe agregar algunas suposiciones adicionales sobre cómo se relacionan las estructuras matemáticas de estas dos teorías (es decir, los corchetes de Poisson se convierten en conmutadores, etc.). Hacer esta conexión es un axioma no trivial y, cuando la mayoría de la gente lo encuentra por primera vez, es bastante poco intuitivo.

lewis molinero · Answer 3

El momento y la posición son variables conjugadas en la mecánica clásica, lo que significa que satisfacen la relación de paréntesis de Poisson. Cuando se inventó la mecánica cuántica, la relación de paréntesis de veneno fue reemplazada por la relación de conmutación del operador, lo que da como resultado la relación que se está considerando.

max lein · Answer 4

Eso $\hat{P} = - i \hbar \partial_x$ genera traducciones proviene de un cálculo directo: si $\psi$ es continuamente diferenciable, y $\Psi$ así como su derivada son integrables al cuadrado, entonces puedes probar que

\begin{aligned} i \frac{d}{d y} (ψ (X - y)) |_{y = 0} = - i \partial_{X} ψ (X) \end{aligned}

$\begin{align} i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \bigl ( \psi(x - y) \bigr ) \big \vert_{y = 0} = - i \partial_x \psi(x) \end{align}$ aguanta, y escribes

e^{- i y \cdot \hat{P}} ψ (x) = ψ (x - y)

$\mathrm{e}^{- i y \cdot \hat{P}} \psi(x) = \psi(x - y)$ .

La mejor motivación física en mi opinión por qué $\hat{P}$ debería llamarse "momentum" (operador) es a través de un límite semiclásico utilizando técnicas estándar. Puede usar el cálculo de Wigner-Weyl para mostrar que si los potenciales varían lentamente en comparación con la longitud de onda de su función de onda, entonces

\begin{aligned} \hat{PAG} (t) = \hat{pag (t)} + mi r r o r \end{aligned}

$\begin{align} \hat{P}(t) = \widehat{p(t)} + \mathrm{error} \end{align}$ es cierto, es decir, el observable de Heisenberg

\hat{P} (t)

$\hat{P}(t)$ asociado al impulso es aproximadamente igual a la cuantización del impulso evolucionado clásicamente

p (t)

$p(t)$ . Puede hacer argumentos similares para la posición, el momento angular y otros observables. Hacer esto preciso es bastante difícil.

Una explicación simplificada, pero en mi opinión excelente, se puede encontrar en el artículo de Ehrenfest de 1927. Desafortunadamente, la mayoría de los libros de texto de mecánica cuántica que he visto hacen un muy mal trabajo al explicar este punto (quizás porque no pueden leer el artículo de Ehrenfest, está escrito en alemán).

Drvrm · Answer 5

Ab initio, los operadores de impulso se pueden construir utilizando ondas planas de de Broglie

En una dimensión, utilizando la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger, la función de onda

Psi = exp. yo (kx-peso) ,

si se toma la derivada parcial wr de x de la función de onda

delta/delta x (Psi) = ik. Psi

y usando la relación de De-Broglie p = hbar. k conseguimos

delta/delta x (Psi) = ip/hbar. Psi

La relación anterior sugiere la equivalencia del operador del momento:

p-operador = -ihbar. Delta/deltax

entonces el valor del momento p es un factor escalar, el momento de la partícula y el valor que se mide es el valor propio del operador del momento.

Como la derivada parcial es un operador lineal, el operador de momento también es lineal (se puede pensar en el momento como un generador de simetría traslacional)

y porque cualquier función de onda se puede expresar como una superposición de otros estados posibles

cuando este operador de cantidad de movimiento actúa sobre toda la onda superpuesta, proporciona los valores propios de cantidad de movimiento para cada componente de onda plana.

El uso de la hipótesis de DeBroglie no es una "derivación ab initio". La mecánica cuántica moderna parte de las relaciones canónicas de conmutación, y $p=\hbar k$ es un enunciado derivado .
bueno, ¡estaba tratando de pensar en términos de perspectiva histórica!

¿Dónde P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( x) viene?

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