¿Cómo actúa el operador de cantidad de movimiento en los kets de estado?

Question

¿Cómo actúa el operador de cantidad de movimiento en los kets de estado?

Ruvi Lecamwasam

He estado pasando por algunos problemas en Modern QM de Sakurai y en un punto tengo que calcular $\langle \alpha|\hat{p}|\alpha\rangle$ donde todo lo que sabemos sobre el estado $|\alpha\rangle$ es eso

⟨ X | α ⟩ = F (X)

$\langle x|\alpha\rangle=f(x)$ para alguna función conocida

f

$f$ . (

| α ⟩

$|\alpha\rangle$ es un paquete de ondas gaussianas.) Sakurai dice que esto viene dado por:

⟨ pag ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | X ⟩ (- i ℏ \frac{\partial}{\partial X}) ⟨ X | α ⟩ d X .

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx.$

Me pregunto cómo llegamos a esta expresión. Sé que podemos expresar

| α ⟩ = \int d X | X ⟩ ⟨ X | α ⟩

$|\alpha\rangle =\int dx|x\rangle\langle x|\alpha\rangle$

y

⟨ α | = \int d X ⟨ α | X ⟩ ⟨ X |,

$\langle\alpha|=\int dx\langle\alpha|x\rangle\langle x|,$

entonces mi pensamiento es que tenemos:

⟨ α | \hat{pag} | α ⟩ = \iint d X d X^{'} ⟨ α | X ⟩ ⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ ⟨ X^{'} | α ⟩,

$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle =\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$

y si podemos 'conmutar' $|x\rangle$ y $\hat{p}$ esto se convertiría en:

\iint d X d X^{'} ⟨ α | X ⟩ \hat{pag} ⟨ X | X^{'} ⟩ ⟨ X^{'} | α ⟩,

$\iint dxdx'\langle\alpha |x\rangle\hat{p}\langle x|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$ cual es el resultado deseado como

⟨ X | X^{'} ⟩ = d (X - X^{'}) .

$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x').$ ¿Es válido este enfoque?

Creo que mi pregunta se reduce a: ¿El operador $\hat{p}$ actuar sobre la base de kets $|x\rangle$ o en sus coeficientes? En este último caso, si tuviéramos algún estado $|\psi\rangle = |x_0\rangle$ para alguna posición $x_0$ , entonces diríamos que para este estado

⟨ pag ⟩ = ⟨ X_{0} | (- i ℏ \frac{\partial}{\partial X}) | X_{0} ⟩ = 0

$\langle p\rangle =\langle x_0|\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)|x_0\rangle = 0$ como el coeficiente único es

1

$1$ y la derivada de

1

$1$ es

0

$0$ ?

Respuestas (7)

¿Cómo actúa el operador de cantidad de movimiento en los kets de estado?

Emilio Pisanty · Answer 1

En mi opinión, las manipulaciones que implican $\hat p$ y la posición de sostenes y kets se hacen más fácilmente al considerar la acción de $\hat p$ en la posición bras , que es simplemente

\begin{matrix} (1) & ⟨ X | \hat{pag} = - i ℏ \frac{d}{d X} ⟨ X | . \end{matrix}

$\boxed{ \vphantom{\begin{array}{}make\\the box\\taller\end{array}} \quad\,\,\, \langle x|\hat p=-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|. \quad\,\,\,} \tag 1$

Puede obtener esto fácilmente al ver eso para cualquier estado $|\psi\rangle$ con función de onda de representación de posición $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ , la acción del operador de cantidad de movimiento sobre el estado da una derivada sobre la función de onda. Es decir,

⟨ X | \hat{pag} | ψ ⟩ = - i ℏ \frac{d}{d X} ⟨ X | ψ ⟩ .

$\langle x|\hat p|\psi\rangle =-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|\psi\rangle.$ Como esta ecuación se cumple para todos los estados

| ψ ⟩ \in H

$|\psi\rangle\in\mathcal H$ , puede "cancelar

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ fuera". (Ms tcnicamente, ya que la accin de los sujetadores

⟨ x | \hat{p}

$\langle x|\hat p$ y

- i ℏ \frac{d}{d x} ⟨ x |

$-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|$ es el mismo para todos los vectores, deben ser iguales como funcionales lineales.)

qmecanico · Answer 2

Ya hay muchas buenas respuestas. Esta respuesta es básicamente una versión ampliada de la respuesta de Emilio Pisanty.

Comencemos recordando la convención estándar para escribir la función de onda de posición
$\begin{matrix} (1) & ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩ \end{matrix}$ $\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle \tag{1}$ como una superposición con un estado de sujetador de posición $\langle x |$ .
La RCC
$\begin{matrix} (2) & [\hat{X}, \hat{pag}] = i ℏ 1 \end{matrix}$ $[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\tag{2}$ es el primer principio de la cuantización canónica.
La posición de la representación de Schrödinger
$\begin{matrix} (3) & \hat{X} = X, \hat{pag} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X}, \end{matrix}$ $\hat{x}~=~x , \qquad \hat{p}~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\tag{3}$ es la representación más común de la RCC (2), aunque está lejos de ser la única, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Sin embargo, véase también el teorema de Stone-von Neumann .
Es importante darse cuenta de que se entiende implícitamente que los operadores (3) actúan sobre sujetadores (a diferencia de kets ). (Sin embargo, vea la ecuación (6) a continuación). Por lo tanto, es más apropiado escribir (3) como
$\begin{matrix} (4) & ⟨ X | \hat{X} = X ⟨ X |, ⟨ X | \hat{pag} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ⟨ X |}{\partial X} = \underset{ε \to 0}{límite} \frac{ℏ}{i} \frac{⟨ X + ε | - ⟨ X |}{ε} . \end{matrix}$ $\langle x |\hat{x}~=~x\langle x | , \qquad \langle x |\hat{p} ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \langle x |}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon}.\tag{4}$
Tenga en cuenta que la posición de la representación de Schrödinger (4) en los sujetadores realiza el CCR (2)
$\begin{aligned} ⟨ X | & [\hat{X}, \hat{pag}] \\ = & \underset{ε \to 0}{límite} \frac{ℏ}{i} {X \frac{⟨ X + ε | - ⟨ X |}{ε} - \frac{(X + ε) ⟨ X + ε | - X ⟨ X |}{ε}} \\ (5) & = & i ℏ ⟨ X |, \end{aligned}$ $\begin{align}\langle x| & [\hat{x},\hat{p}]\cr ~=~& \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\left\{ x\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon} -\frac{ ( x+\varepsilon)\langle x+\varepsilon |- x\langle x |}{\varepsilon}\right\}\cr ~=~&i\hbar \langle x | ~, \tag{5}\end{align}$ con el signo correcto, como debe ser.
Nótese que la posición de la representación de Schrödinger (4) en sujetadores y la convención (1) implica las fórmulas estándar

\begin{matrix} (6) & \hat{X} ψ (X) = X ψ (X), \hat{pag} ψ (X) = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ (X)}{\partial X} . \end{matrix}

$\hat{x}\psi(x)~=~x\psi(x) , \qquad \hat{p}\psi(x) ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}. \tag{6}$

Tenga en cuenta en particular que si uno insiste en actuar sobre kets (en oposición a bras ), entonces la representación de posición de Schrödinger viene con el signo opuesto : $\begin{matrix} (7) & \hat{X} | X ⟩ = | X ⟩ X, \hat{pag} | X ⟩ = i ℏ \frac{\partial | X ⟩}{\partial X} = \underset{ε \to 0}{límite} i ℏ \frac{| X + ε ⟩ - | X ⟩}{ε} . \end{matrix}$ $\hat{x}|x\rangle ~=~|x\rangle x , \qquad \hat{p}|x\rangle ~=~i\hbar\frac{\partial |x\rangle}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}i\hbar \frac{ |x+\varepsilon \rangle- | x\rangle }{\varepsilon}.\tag{7}$

Motl de Luboš · Answer 3

mirando la pregunta

Creo que mi pregunta se reduce a: ¿ $\hat p$ actuar sobre la base de kets $|x\rangle$ o en sus coeficientes?

uno puede identificar con seguridad que está confundido acerca de algo, pero es más difícil averiguar cuál es realmente la pregunta. Así que permítame repetir algunas cosas básicas aquí: estoy seguro de que debe estar confundido acerca de una de ellas, a pesar de su carácter básico.

El símbolo $\hat p$ es un operador. Significa un objeto que actúa sobre cualquier vector ket y te da otro (o el mismo) vector ket. El mapa debe ser lineal y así sucesivamente. Asi que $\hat p$ seguramente actúa sobre vectores, no sobre "coeficientes".

Por otro lado, cuando actúa sobre un vector base como $|x\rangle$ , el resultado puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base en la misma base,

\hat{pag} | X ⟩ = \int d X^{'} F_{X} (X^{'}) | X^{'} ⟩

$\hat p |x\rangle = \int dx' f_x(x') |x'\rangle$ con algunos coeficientes

f_{x} (x^{'})

$f_x(x')$ . Cada vector ket, y

\hat{p} | x ⟩

$\hat p | x \rangle$ es un vector ket, puede expresarse usando una base de una manera.

Entonces, si bien puede identificar $|x\rangle$ con la "función de onda" igual a $\psi(x'') = \delta (x''-x)$ donde $x$ es un valor fijo de la posición, el vector ket sobre el que se actúa $\hat p|x\rangle$ se da en términos de la función $f_x(x')$ que codifica los coeficientes delante de $|x'\rangle$ . Esta función (almacenamiento de los coeficientes) está totalmente dada por el significado del operador $\hat p$ y por el valor de $x$ y reemplaza la codificación de función delta $|x\rangle$ en sí mismo, por lo que en este sentido, los operadores también actúan sobre los coeficientes. ¡Uno debe conocer las reglas básicas, cómo actúan sobre una base, etc. y luego lo sabe todo!

Otra cosa por la que puede estar confundido es aún más elemental, lo que es un derivado. Una derivada no es un operador que actúa sobre el espacio de Hilbert. Una derivada es una operación que toma una función de una variable real y la asigna a otra función de la variable real.

\frac{\partial}{\partial X} : F (X) \mapsto F^{'} (X) = \underset{ε \to 0}{límite} \frac{F (X + ε) - F (X)}{ϵ}

$\frac{\partial}{\partial x} : f(x)\mapsto f'(x) = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\epsilon}$ Debe estar confundido acerca de esta definición de un derivado, de lo contrario no escribiría los derivados sin sentido en la última oración. Generalmente, algo debería depender de la variable con respecto a la cual estamos diferenciando, y luego lo diferenciamos como una función usando la definición general anterior.

El núcleo (o "elementos de la matriz") de $\hat p$ es

⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ = - i ℏ d^{'} (X - X^{'}) = F_{X^{'}} (X)

$\langle x | \hat p | x'\rangle = -i\hbar \delta'(x-x')=f_{x'}(x)$ que es la derivada de la función delta. Es una función delta cuyo argumento es la diferencia de los dos valores

x, x^{'}

$x,x'$ que especifican el vector sujetador y el vector ket entre los cuales

\hat{p}

$\hat p$ estaba intercalado. La función delta es igual al producto interno del vector sujetador.

⟨ x |

$\langle x |$ y el vector

\hat{p} | x ⟩

$\hat p |x\rangle$ que resulta de la acción de

\hat{p}

$\hat p$ en

| x ⟩

$|x\rangle$ .

El núcleo es suficiente para calcular cualquier cosa que involucre $\hat p$ y bra y ket vectores en el $x$ -base. Por ejemplo, puede multiplicar mi ecuación para el núcleo anterior por $|x\rangle$ desde la izquierda e integrar sobre $x$ . Entonces uno obtiene (después de notar que $1$ fue construido en LHS a través de la relación de completitud)

\hat{pag} | X^{'} ⟩ = \int d X (- i ℏ) d (X - X^{'}) | X ⟩ = - i ℏ \frac{\partial}{\partial X} | X ⟩_{X = X^{'}}

$\hat p |x'\rangle = \int dx (-i\hbar) \delta(x-x') |x\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle_{x= x'}$ Lo siento si hay un error de señal en alguna parte. Tiene sentido diferenciar con respecto a

x

$x$ porque el objeto en realidad es una función de

x

$x$ . Si una función de onda general se reescribe como una combinación de tales

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ vectores de la LHS de la ecuación anterior, a través de una integral y con los coeficientes llamados

ψ (x^{'})

$\psi(x')$ , la ecuación anterior se convierte en la habitual

\hat{pag} : ψ (X^{'}) \to - i ℏ ψ^{'} (X^{'})

$\hat p:\psi(x')\to -i\hbar \psi'(x')$ en términos de los coeficientes. Esto no significa que un operador lineal sea lo mismo que una derivada de funciones. Solo dice que en el

x

$x$ -base, al actuar sobre una combinación general de estos vectores base, los coeficientes se transforman de esta forma derivada. Pero esa es una propiedad especial de este operador en particular. Otros operadores, como

\hat{x}

$\hat x$ , actuar diferente.

Gleb Gribakin · Answer 4

Considere la relación de conmutación $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ . Su elemento de matriz entre estados $\langle x|$ y $|x'\rangle$ ,

⟨ X | \hat{X} {\hat{pag}}_{X} - {\hat{pag}}_{X} \hat{X} | X^{'} ⟩ = i ℏ ⟨ X | X^{'} ⟩,

$\begin{equation} \langle x|\hat x \,\hat p_x - \hat p_x\hat x|x'\rangle =i\hbar \langle x|x'\rangle , \end{equation}$ da

(X - X^{'}) ⟨ X | {\hat{pag}}_{X} | X^{'} ⟩ = i ℏ d (X - X^{'}),

$\begin{equation} (x-x')\langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \delta (x-x'), \end{equation}$ así que eso

⟨ X | {\hat{pag}}_{X} | X^{'} ⟩ = i ℏ \frac{d (X - X^{'})}{X - X^{'}} .

$\begin{equation} \langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \frac{\delta (x-x')}{x-x'}. \end{equation}$ Sustituyendo esto en

⟨ x | {\hat{p}}_{x} | ψ ⟩

$\langle x|\hat p_x|\psi \rangle$ , donde

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$ es un estado de ket arbitrario con la función de onda

ψ (x) \equiv ⟨ x | ψ ⟩

$\psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle$ , tenemos

\begin{array}{rcl} ⟨ X | {\hat{pag}}_{X} | ψ ⟩ & = & \int ⟨ X | {\hat{pag}}_{X} | X^{'} ⟩ ⟨ X^{'} | ψ ⟩ d X^{'} \\ = & i ℏ \int \frac{d (X - X^{'})}{X - X^{'}} ψ (X^{'}) d X^{'} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle &=&\int \langle x|\hat p_x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx'\\ &=&i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x') dx'. \end{eqnarray}$ La única contribución a la integral proviene de

x^{'}

$x'$ Muy cerca de

x

$x$ , por lo que podemos expandir la función de onda en la serie de Taylor a primer orden,

ψ (x^{'}) ≃ ψ (x) + ψ^{'} (x) (x^{'} - x)

$\psi (x')\simeq \psi (x)+\psi '(x)(x'-x)$ . Esto da

\begin{array}{rcl} ⟨ X | {\hat{pag}}_{X} | ψ ⟩ = i ℏ \int \frac{d (X - X^{'})}{X - X^{'}} ψ (X) d X^{'} - i ℏ \int d (X - X^{'}) ψ^{'} (X) d X^{'} = - i ℏ \frac{\partial ψ (X)}{\partial X}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle =i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x) dx'-i\hbar \int \delta (x-x')\psi '(x)dx'=-i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}, \end{eqnarray}$ donde la primera integral se anula porque

δ (x - x^{'})

$\delta (x-x')$ es una función par y

1 / (x - x^{'})

$1/(x-x')$ es impar.

Trimok · Answer 5

Los estados son vectores, $|\alpha\rangle$ y la base $|x\rangle$ son vectores.

la notación $\langle x|\alpha\rangle$ es equivalente a $\alpha(x)$ , esta es la coordenada del estado $|\alpha\rangle$ sobre la base $|x\rangle$ , $\alpha(x)$ es la amplitud de probabilidad o función de onda.

El operador $\hat p$ , que se aplica a un estado o una función dependiente de $x$ , tiene la representación $-i \frac{\partial}{\partial x}$ (elegimos aquí la unidad $\hbar = 1$ por simplicidad).

Entonces, por ejemplo, tenemos: $\langle x|\hat p|x'\rangle= -i \langle x|\frac{\partial}{\partial x'}|x'\rangle = = -i\frac{\partial}{\partial x'}\langle x|x'\rangle =+i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x')\tag{1}$

Tú tienes :

⟨ α | \hat{pag} | α ⟩ = \iint d X d X^{'} ⟨ α | X ⟩ ⟨ X | \hat{pag} | X^{'} ⟩ ⟨ X^{'} | α ⟩

$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle=\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle\langle x'|\alpha\rangle$

= \iint d X d X^{'} α^{*} (X) i (\frac{\partial}{\partial X^{'}} d) (X - X^{'}) α (X^{'})

$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x') ~~\alpha(x')$

\begin{matrix} (2) & = \iint d X d X^{'} α^{*} (X) - i d (X - X^{'}) \frac{\partial}{\partial X^{'}} α (X^{'}) \end{matrix}

$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~-i\delta(x-x') ~~\frac{\partial}{\partial x'}\alpha(x')\tag{2}$

= \int d X α^{*} (X) (- i \frac{\partial}{\partial X}) α (X)

$=\int dx~~ \alpha^*(x)~~(-i\frac{\partial}{\partial x})~~\alpha(x)$ En

(2)

$(2)$ , hemos utilizado una integración por partes, suponiendo que la función de onda está decreciendo lo suficientemente rápido en el límite.

La ecuacion $\hat p|x\rangle = (-i\frac{\partial}{\partial x})|x\rangle$ , es correcto, pero no útil, porque no tenemos expresión para $\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$ . Una ecuación más útil es sobre operaciones de traducción, y es: $e^{-i\hat p.a}|x\rangle = |x+a\rangle$ o $\langle x |e^{i\hat p.a}=\langle x+a|$

Finalmente, mirando el estado $|\psi\rangle =|x_0\rangle$ , la función de onda asociada es $\langle x|x_0\rangle = \delta(x-x_0)$ , por lo que el valor medio de la cantidad de movimiento en este estado es:

\begin{matrix} (3) & ⟨ ψ | \hat{pag} | ψ ⟩ = \int d X d (X - X_{0}) (- i \frac{\partial}{\partial X}) d (X - X_{0}) = - i d^{'} (0) = 0 \end{matrix}

$\langle\psi|\hat p|\psi\rangle\tag{3}=\int dx \delta(x-x_0) (-i\frac{\partial}{\partial x})\delta(x-x_0) = -i \delta'(0)=0$

Esto se puede entender fácilmente, porque si fijas la posición ( $x=x_0$ ), la incertidumbre del momento es infinita, por lo que todos los momentos están autorizados con la misma probabilidad, por lo que la media de los momentos es cero.

Jllaher · Answer 6

Yo diría que una parte de la pregunta sigue sin respuesta. Eso sería, cómo el operador $\hat{p}$ actúa sobre un estado que no es una combinación lineal trivial de los estados propios de posición.

Digamos que estamos tratando de calcular

\hat{\frac{\partial}{\partial X}} | norte ⟩ = \hat{\frac{\partial}{\partial X}} \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} ⟩,

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$ donde

| n ⟩

$|n\rangle$ es algún estado que se puede representar como una combinación lineal de estados

| x ⟩

$|x\rangle$ . Para captar la intuición podemos comprobar el caso de

\hat{X} | norte ⟩ = \hat{X} \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} ⟩,

$\hat{x}|n\rangle=\hat{x} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$ donde la respuesta es muy sencilla, ya que la

| x ⟩

$|x\rangle$ es estado propio de la

\hat{x}

$\hat{x}$ operador con valor propio

x

$x$

\hat{X} | norte ⟩ = \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ \hat{X} | X^{'} ⟩ = \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ X^{'} | X^{'} ⟩ .

$\hat{x}|n\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{x}|x'\rangle = \int dx' \langle x'|n\rangle x'|x'\rangle.$ Aplicando el mismo razonamiento al caso inicial, obtenemos

\hat{\frac{\partial}{\partial X}} \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} ⟩ = \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ \hat{\frac{\partial}{\partial X}} | X^{'} ⟩ = \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ \underset{h \to 0}{límite} \frac{1}{h} (| X^{'} + h ⟩ - | X^{'} ⟩),

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{\frac{\partial}{\partial x}}|x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(|x'+h\rangle - |x'\rangle\Big),$ donde simplemente usé la definición de la derivada en un vector. Luego, simplemente separamos la integral en dos partes y redefinimos las variables de integración para que podamos extraer el estado

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{1}{h} (\int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} + h ⟩ - \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} ⟩),

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx' \langle x'|n\rangle|x'+h\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{1}{h} (\int d X^{″} ⟨ X^{″} - h | norte ⟩ | X^{″} ⟩ - \int d X^{'} ⟨ X^{'} | norte ⟩ | X^{'} ⟩),

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx'' \langle x''-h|n\rangle|x''\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$

= \underset{h \to 0}{límite} \frac{1}{h} \int d X^{'} (⟨ X^{'} - h | norte ⟩ - ⟨ X^{'} | norte ⟩) | X^{'} ⟩,

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int dx' \Big(\langle x'-h|n\rangle - \langle x'|n\rangle\Big)|x'\rangle,$ pero esta es la derivada de los coeficientes

= - \int d X^{'} (\frac{\partial ⟨ X | norte ⟩}{\partial X}) |_{X = X^{'}} | X^{'} ⟩,

$=-\int dx' \Big(\frac{\partial\langle x|n\rangle}{\partial x}\Big)\Bigg|_{x = x'}|x'\rangle,$ o en una forma más familiar con la función de onda definida como

⟨ x | n ⟩ = ψ_{n} (x)

$\langle x|n\rangle = \psi_{n}(x)$

\hat{\frac{\partial}{\partial X}} | norte ⟩ = \hat{\frac{\partial}{\partial X}} \int d X^{'} ψ_{norte} (X^{'}) | X^{'} ⟩ = - \int d X^{'} ψ_{norte}^{'} (X^{'}) | X^{'} ⟩ .

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \psi_{n}(x') |x'\rangle = -\int dx' \psi'_{n}(x') |x'\rangle.$ Por lo tanto, actuar con la derivada espacial en un estado te da la derivada de una función de onda, o en otras palabras, la derivada del coeficiente que te da el mapeo de un estado que estás diferenciando a la base de la posición.

Deschele Schilder · Answer 7

Tenga en cuenta que $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .

Ponga esto en la fórmula dada:

⟨ pag ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | X ⟩ (- i ℏ \frac{\partial}{\partial X}) ⟨ X | α ⟩ d X,

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx,$

lo que da:

⟨ pag ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | X ⟩ \hat{pag} ⟨ X | α ⟩ d X .

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\hat{p}\langle x|\alpha\rangle dx.$

Ahora bien, es un resultado bien conocido en la mecánica cuántica (relación de completitud) que:

\int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | d X = 1,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1,$

Así que cuando ponemos esto en la expresión para $\langle p\rangle$ obtenemos:

⟨ pag ⟩ = ⟨ α | \hat{pag} | ⟩ α,

$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$

que tuvimos que demostrar.

También puedes empezar con

⟨ pag ⟩ = ⟨ α | \hat{pag} | ⟩ α,

$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$

colocar la relación de completitud

\int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | d X = 1

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1$

en él y reemplazar $\hat{p}$ por $-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .

¿Cómo actúa el operador de cantidad de movimiento en los kets de estado?

Ruvi Lecamwasam

Respuestas (7)

Emilio Pisanty

qmecanico

Motl de Luboš

Gleb Gribakin

Trimok

Jllaher

Deschele Schilder

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