Operador de momento complejo conjugado

Considere la representación del operador de momento en el espacio de posición.

pag ^ = − i ∂ ∂ X   y sus funciones propias son  mi i pag X y   mi − i pag X .
pag ^ mi i pag X = pag mi i pag X
Tomando el conjugado complejo de la ecuación,
pag ^ ∗ mi − i pag X = pag ∗ mi − i pag X
Como el valor propio de la cantidad de movimiento es real, pag ∗ = pag . De este modo
pag ^ ∗ mi − i pag X = pag mi − i pag X
Ahora considera,
− pag ^ mi − i pag X = pag mi − i pag X
De estas dos ecuaciones vemos que pag ^ ∗ = − pag ^ .\

Ahora considere la representación matricial del operador de cantidad de movimiento. Sobre la base de los estados propios de cantidad de movimiento, la matriz del operador de cantidad de movimiento (de dimensión infinita) es diagonal y los elementos de la diagonal representan los valores propios del operador de cantidad de movimiento como en el caso de otros operadores de dimensión finita. Esto significa que el complejo conjugado del pag − matriz es pag − matriz misma. Sin embargo, vimos de la lógica anterior que el complejo conjugado debe ser negativo del pag − matriz.\

no veo donde esta el problema!!

Respuestas (4)

La historia corta es que no puede distribuir el * en el operador de esa manera. Tienes que mantenerlo como ( pag ^ mi i pag X ) ∗ = pag mi − i pag X porque pag ^ es un operador en un espacio vectorial complejo que parece una derivada en el X base.

pag ^ = − i ∂ ∂ X es la representación del operador cantidad de movimiento en el X base, es decir ⟨ X | pag ^ | ψ ⟩ = − i ∂ ∂ X ⟨ X | ψ ⟩ . La conjugación compleja es una operación que sabemos hacer con números complejos, así que asegurémonos de que los objetos con los que estamos trabajando sean primero números complejos. El complejo conjugado de un producto interno es ⟨ X | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | X ⟩ . El operador pag ^ cambia el vector | ψ ⟩ en algún otro vector pag ^ | ψ ⟩ = | pag ψ ⟩ . Ahora tomando el complejo conjugado se ve así:

⟨ X | pag ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ X | pag ψ ⟩ ∗ = ⟨ pag ψ | X ⟩

La pregunta ahora es qué es ⟨ pag ψ | ? Para tener ⟨ ψ | ψ ⟩ = | ψ | 2 entonces ⟨ ψ | debe ser adjunto hermitiano de | ψ ⟩ . Si piensa en kets como vectores de columna, sujetadores como vectores de fila y operadores como matrices, entonces esta operación toma la transposición de la matriz de operadores además de la conjugación compleja.

Trabajando en el espacio de funciones infinitamente diferenciables, la distribución de la conjugación hermitiana es correcta en la forma representada en la pregunta. El único problema surgiría al conjugar la multiplicación de operadores, en cuyo caso la única corrección necesaria es invertir el orden de los operadores en el producto, como ( A ^ B ^ ) ∗ = B ^ ∗ A ^ ∗
@Ajayu Los físicos denotan conjugación compleja por A ^ ∗ y la conjugación hermítica por A ^ † .
A ^ ∗ es coherente con la notación utilizada en la pregunta, que utiliza pag ^ ∗ como el conjugado hermitiano del operador de impulsión. Aunque no es estándar entre los físicos, es el elegido para formular la pregunta.
No creo que el OP estuviera al tanto de la diferencia entre la conjugación hermítica y la conjugación compleja, por lo que es mejor mantener una distinción.

La conjugación compleja de un operador depende de la base que elija. En otras palabras, no existe una definición independiente de base de conjugación compleja.

El conjugado hermitiano se define sin referencia a una base.
@RobinEkman: Pero el conjugado complejo no es lo mismo que el conjugado hermitiano. Pero el hecho de que el conjugado hermitiano no dependa de la base puede usarse para mostrar que la conjugación compleja sí depende de la base: el conjugado hermitiano es la combinación del conjugado complejo y la transpuesta. Por lo tanto, el conjugado complejo es lo mismo que el conjugado hermitiano seguido de la transposición. Ahora creo que es bastante obvio que la transposición depende de la base.

Es fácil encontrar el error si te das cuenta de que un operador es una función en un espacio vectorial con el argumento de la función a su derecha. Por ejemplo, pag ^ mi i pag X = pag mi i pag X es una notación (aparentemente confusa) para pag ^ ( mi i pag X ) = pag mi i pag X , por lo tanto pag ^ ∗ ( mi i pag X ) = pag mi − i pag X . Ver también la respuesta de George G en notación de Dirac.

Está asumiendo que el conjugado hermitiano del operador derivado d / d X es la derivada de nuevo. Este no es el caso. El conjugado hermitiano de d / d X es − d / d X . es por eso que el i está ahí.

¡¡¡Eso no se ha asumido en ningún lado!!!
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