Derivación del operador de momento en mecánica cuántica

Me pregunto cómo obtenemos realmente el operador de impulso en la mecánica cuántica.

Como he aprendido, afirmamos que para una partícula libre, su amplitud de probabilidad debe ser constante en todas partes. Por lo tanto podríamos escribir

ψ = A mi i pag m X m .

Entonces, se puede ver que nuestro operador de cantidad de movimiento debe ser pag ^ m = i ∂ m (tenga en cuenta que he usado la firma ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) ).

Cómo lo sabemos pag m en la función de onda es en realidad el impulso 4 (porque nuestra suposición es solo que la amplitud de probabilidad es constante y nada más, por lo tanto, la función de onda podría ser exponencial de cualquier número complejo puro). En segundo lugar, derivamos este operador solo para partículas libres. ¿Cómo sabemos que esto funcionará para una función de onda general?

Respuestas (2)

El argumento es el mismo en QM no relativista o relativista.

  1. Las ondas planas tienen un momento definido y son de la forma que se indica: ψ ∼ A mi − i ( pag X − ω t ) (en 1+1).
  2. Debido a que tienen un momento definido, se postula un operador pag ^ tal que
    pag ^ ψ = pag ψ .
  3. Usando la forma explícita de ψ uno ve que
    pag ^ ↦ i ∂ ∂ X
    El mismo argumento vale para el componente de tiempo de su pag m .
  4. Habiendo encontrado pag ^ para la onda plana, se postula que esto debe seguir siendo cierto para potenciales arbitrarios.

Un enfoque alternativo (pero no completamente independiente ya que esto inspiró a Schrödinger) es darse cuenta de que, en la formulación de la mecánica clásica de Hamilton-Jacobi, los operadores de cantidad de movimiento se asignan a derivadas parciales w/r a las posiciones conjugadas, es decir pag → ∂ ∂ X en HJ. Esto sigue siendo cierto independientemente del potencial, apoyando el postulado de que pag ^ ↦ i ∂ X debe seguir siendo cierto independientemente del potencial.

En última instancia, estas "conjeturas" son validadas a posteriori por las soluciones a la ecuación de Schrödinger.

Estos todavía no responden a mi pregunta. ¿Cómo sabemos que para una partícula libre, la función de onda debe tener esa forma, no solo ψ = A mi i ϕ cuando ϕ es un número real (entonces el pag en la función de onda no es el momento de la partícula). Además, no estoy completamente convencido de que deba ser cierto para funciones de onda arbitrarias. ¿Tiene una prueba rigurosa de esta afirmación?
Una partícula libre con un momento específico se describe mediante A mi i ( pag X − ω t ) , no por A mi i ϕ . Esta última forma no es una onda de libre propagación. No estoy seguro de lo que quiere decir con "esto debe ser cierto para funciones de onda arbitrarias". No conozco una prueba rigurosa (y no sé que exista una prueba rigurosa) de pag ^ → i ∂ X más allá del hecho de que "se ha demostrado que funciona" durante todo este tiempo.
Entonces, ¿por qué la función de onda de la partícula libre debe ser A mi i ( pag X − mi t ) no A mi i ( a pag X − a mi t ) dónde a es solo una constante. Podemos ver que estas dos funciones de onda dan exactamente la misma relación de dispersión, pero nuestro operador de cantidad de movimiento cambiará por el factor de a .
Su a sería adimensional; es un factor de escala que podría ser absorbido redefiniendo X = a X y T = a t .
Si lo hace así, nuestro operador de posición X ^ también será cambiado por el factor de a .
Claro... pero eso es solo un factor de escala. Puedes definir X = 1000 X y medir las cosas en kilómetros en lugar de metros... No estoy seguro de adónde vas con esto de todos modos... Seguramente la onda plana es ∼ mi i ( pag X − ω t ) . Además, las cosas también cambian si trabajas en unidades donde ℏ ≠ 1 ... y no estás preocupado por eso.
Lo que quise decir es que a aquí no tiene unidad -> significa X = 1000 X no es solo cambiar la unidad, sino que en realidad extiende la escala de longitud mil veces.

El pag m en la exponencial es el cuadrivector de impulso verdadero. Es una forma compacta de escribir los 4 valores espectrales diferentes de los 4 operadores de momento, mientras que estos últimos son los generadores del álgebra de Lie del subgrupo de traducciones del espacio-tiempo del grupo restringido de Poincaré. La ecuación espectral PAG ^ m ψ = pag m ψ es válido en el espacio de Hilbert (unipartícula amañado) que lleva una representación irreducible del subgrupo de traducciones. El subgrupo de traslaciones en el espacio-tiempo 4D plano o, en general, la simetría restringida de Poincaré se sabe/demuestra que es una simetría exacta solo en el caso de las teorías de campos cuánticos libres en 4D.

Derivación del operador de momento en mecánica cuántica
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