Prueba de que el operador de cantidad de movimiento que actúa sobre una función de onda da el valor esperado

Estoy siguiendo un libro donde el autor trata de demostrar que

$$\langle p \rangle = \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle,\tag{0}$$ así que solo calcula la integral

$$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \psi^*(x) \left( -i\hbar \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) \psi(x) \, \mathrm{d}x \tag{1}$$

y comienza diciendo que

$$-i\hbar\dfrac{\mathrm{d}\psi(x)}{\mathrm{d}x} ~=~ -i\hbar\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}(p) e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p ~=~ \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p \tag{2}$$

lo cual está bien porque podemos expandir la función de onda en el espacio de posición como una suma de funciones de onda en el espacio de momento utilizando la transformada de Fourier en$\psi(x) .$

Usando este resultado, tenemos que

$$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}^*(p') \, e^{ip'x/\hbar} \mathrm{d}p' \right) \left( \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \mathrm{d}p \right) \mathrm{d}x \tag{3}$$

Sin embargo, no entiendo por qué los siguientes dos pasos son matemáticamente correctos y cómo mueve los signos de integración:

$$\begin{align} \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \left( \int_{\mathbb{R}} e^{i(p-p')x/\hbar} dx\right) \, \mathrm{d}p' \, \mathrm{d}p \tag{4} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \delta(p-p') \,p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \, \mathrm{d}p \, \mathrm{d}p' \tag{5} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} p \vert \tilde{\psi}(p) \vert^2 \, \mathrm{d}p \tag{6} \\[5px] &= \langle p \rangle \tag{7} \end{align}$$

ecuación (7) obviamente se sigue de la ecuación. (6), porque el valor esperado de una variable aleatoria es igual a la integral de esa variable por la distribución de densidad de probabilidad, que es exactamente lo que$\vert\tilde{\psi}(p)\vert^2$es. Pero, ¿cómo llega a la Ec. (6)?

Pregunta: ¿Cómo obtenemos las Ecuaciones (5) y (6) a partir de la Ecuación (4)?