Acción del operador de cantidad de movimiento sobre la función de onda en el espacio de cantidad de movimiento

En las expresiones anteriores, la$p$es una función de onda en el espacio de cantidad de movimiento pero$\hat p$es un operador en$x$es decir$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$, entonces, ¿puede actuar también sobre la función de onda del espacio de momento?

$p$no es una función de onda. La función de onda se expresa en base a$|p\rangle$como$\langle p | \psi \rangle \equiv \psi(p)$. En la representación del espacio de cantidad de movimiento,$\hat p$sigue siendo el mismo operador, solo se ve diferente porque hemos cambiado nuestra base. En este caso, la acción de$\hat p$en$\psi(p)$es solo multiplicacion por$p$. El operador$\hat p$no está dentro$x$como si sólo estuviera definido en el espacio de posición. Más bien, la representación de$\hat p$en la base de la posición se define como$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$; en diferentes representaciones, será diferente.

También es$\langle p | \psi \rangle$definido? Si es así, ¿cuál es su valor?

Sí. se define como$\psi(p)$del mismo modo$\langle x | \psi \rangle \equiv \psi(x)$.

Por último, ¿cómo pasamos de$\langle p | \hat p \hat x |\psi \rangle$a$p\langle p | \hat x |\psi \rangle$

$|p\rangle$es una función propia de$\hat p$con valor propio$p$, por lo tanto podemos tomar$\big[\langle p | \hat p \big]\hat x |\psi \rangle = \big[\langle p | p \big]\hat x |\psi \rangle$, donde he dejado caer el sombrero$\hat p$. Entonces simplemente tiramos$p$afuera.

$\langle p | \psi \rangle$es la función de onda expresada en la base del momento:$\psi (p)$. No se puede decir nada más al respecto a menos que se proporcione más contexto.

Lo importante es que el operador$\hat{p}$se puede expresar en cualquier base, el espacio de posición, como lo definió en su respuesta, es solo una base posible.

Por último, el operador de cantidad de movimiento que actúa sobre la función de onda expresada en el espacio de cantidad de movimiento devolverá la cantidad de movimiento de la partícula (supongo que es una función de onda de una sola partícula) y no cambiará la función de onda porque es una función propia del operador de cantidad de movimiento:

$\hat{p} \space \psi (p) = p \space \psi (p)$

Hay dos elementos en la respuesta. Lo primero es entender qué es$\psi(p)$y el otro la acción de$\hat p$sobre tales funciones.

Comprender$\psi(p)$, lo más sencillo es referirse a esta pregunta y adaptar la respuesta para pensar en$\psi(p)=\langle p\vert \psi\rangle$. Muy parecido$\vert x_0\rangle$es tal que$\hat x\vert x_0\rangle=x_0\vert x_0\rangle$, tenemos$\vert p_0\rangle$tal que$\hat p\vert p_0\rangle=p_0\vert p_0\rangle$, es decir, los estados$\vert p’\rangle$son estados propios del operador$\hat p$con valor propio$p’$.

Ahora,$\hat p\psi(p)$es por definición

$$\hat p\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat p\vert\psi\rangle\, .$$ El resto son solo manipulaciones: $$\begin{align} \langle p\vert p\vert\psi\rangle =\langle \psi\vert \hat p^\dagger \vert p\rangle^* &=\langle \psi\vert\hat p\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since $\hat p$ is hermitian}\, ,\\ &=p\langle \psi\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since eigenvalues of $\hat p$ are real}\, ,\\ &=p\langle p\vert\psi\rangle = p\psi(p)\, . \end{align}$$ En otras palabras, al igual que$\hat x$es multiplicacion por$x$ en funciones$\psi(x)$de$x$,$\hat p$es multiplicacion por$p$ en funciones$\psi(p)$.

Lo interesante es obtener la acción de$\hat x$en funciones$\psi(p)$. Esto se hace convirtiendo desde el$p$-representación ante el$x$-representación usando la expresión básica

$$\langle x\vert p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i x p/\hbar}$$ que se deduce porque los estados de impulso definido$\vert p\rangle$se expresan como onda plana en el espacio,$e^{i x p/\hbar}$. El factor$1/\sqrt{2\pi}$está allí por conveniencia ya que las ondas planas no se pueden normalizar. Con este: $$\hat x\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat x \vert \psi\rangle \tag{1}$$ Insertando ahora el operador unitario como suma de todos los$\vert x\rangle$proyecciones: $$\hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$$ transforma (1) en $$\begin{align} X\psi(p)&=\int dx’ \langle p\vert \hat x \vert x’\rangle \langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=\int dx’ x’ \langle p\vert x’\rangle\langle \psi\rangle \, ,\\ &= \int dx’ x’ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i x’ p/\hbar} \psi(x)\, ,\\ &=i\hbar\frac{\partial}{\partial p} \int dx’ \langle p\vert x’\rangle\langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \langle p\vert \psi\rangle \, ,\tag{2}\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\psi(p)\, . \tag{3} \end{align}$$ Hay una serie de pasos matemáticamente sueltos allí, pero esa es la idea básica. En (2) he usado$\int dx’ \vert x’\rangle\langle x’\vert=\hat 1$para deshacerse de la integral, y también he asumido que uno puede "sacar" la derivada w/r para$p$fuera de la integral ya que estoy integrando sobre$x’$pero tomando una derivada w/r para$p$.

Nótese la importante diferencia de signo entre (3) y la acción más común de$\hat p$en$\psi(x)$.

Su consulta final sigue usando

$$\langle p\vert \hat p \hat x\vert\psi\rangle = \langle \psi \hat x\hat p\vert p\rangle ^* = p\langle p\vert \hat x\vert\psi\rangle$$ donde he usado la hermiticidad de$\hat x$y$\hat p$, y la realidad del valor propio$p$.

La notación de Dirac$|p\rangle$significa que$|p\rangle$es un estado propio del operador de cantidad de movimiento$\hat p$con valor propio$p$:

$$\hat p |p\rangle = p |p\rangle .$$ Si$|\psi\rangle$es un estado propio de$\hat p$con valor propio$p^{\prime}$(es decir, si es la onda plana$\propto exp(i p^{\prime} x/\hbar)$),$\langle p|\psi\rangle = \delta(p-p^{\prime})$. Si$|\psi\rangle$no es un estado propio de cantidad de movimiento, aún se puede expandir en estados propios de cantidad de movimiento: $$|\psi\rangle = \sum_p |p\rangle \cdot \langle p|\psi \rangle .$$ (La ecuación anterior utiliza el hecho de que$\sum_p |p\rangle\langle p|$es identidad).$\langle p|\psi\rangle$es la proyección de$|\psi\rangle$en el estado propio del impulso$|p\rangle$(comúnmente escrito simplemente como$\psi(p)$).

Desde$|p\rangle$es un estado propio (más precisamente, un conjunto propio) de$\hat p$con valor propio$p$, también lo es el conjugado hermitiano$\langle p|$($\langle p|$es la eigenbra correspondiente en notación de Dirac). Ir desde$\langle p|\hat p \hat x|\psi\rangle$a$p\langle p|\hat x|\psi\rangle$está usando eso$\langle p|$es una eigenbra del operador de cantidad de movimiento$\hat p$, y uno deja$\hat p$actuar a la izquierda ($\langle p| \hat p = p \langle p|$), de modo que uno puede extraer el valor propio$p$del producto escalar.