Momento angular máximo para una órbita en GR

Question

Momento angular máximo para una órbita en GR

singularidad_insignificante

[La referencia para esta pregunta es el libro Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler.]

Las trayectorias de partículas masivas alrededor de un cuerpo esféricamente simétrico se rigen por el potencial efectivo

\tilde{V} (\tilde{L}, r) = (1 - \frac{2 METRO}{r}) (1 + \frac{{\tilde{L}}^{2}}{r^{2}})

$\tilde{V}(\tilde{L}, r) = \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) \left( 1 + \frac{\tilde{L}^2}{r^2}\right)$ donde la invariante orbital

\tilde{L}

$\tilde{L}$ es el momento angular por unidad de masa en reposo

\frac{L}{μ}

$\frac{L}{\mu}$ .

La pregunta es, ¿hay algún límite superior para $\tilde{L}$ para órbitas enlazadas?

Estoy pensando lo siguiente: en la física newtoniana, el momento angular no tiene restricciones. Sin embargo, sabemos por la relatividad especial que existe un límite superior para la velocidad de cualquier partícula. Como el momento angular está relacionado con $\dfrac{d\phi}{dt}$ , usando ingenuamente

r \frac{d ϕ}{d t} \leq C

$r \frac{d\phi}{dt} \leq c$

me da,

\tilde{L} \leq \tilde{mi} \frac{r^{2}}{r - 2 METRO}

$\tilde{L} \leq \tilde{E} \frac{r^2}{r- 2M}$

¿Cómo proceder desde aquí?

Juan Rennie

Para trayectorias no unidas, el momento angular obviamente puede ser arbitrariamente alto ya que

p

$p$ puede ser arbitrariamente alto. ¿Estás pensando específicamente en órbitas enlazadas?

singularidad_insignificante

@JohnRennie Sí. Gracias . He hecho la edición apropiada.

Respuestas (1)

Momento angular máximo para una órbita en GR

Para trayectorias no unidas, el momento angular obviamente puede ser arbitrariamente alto ya que $p$ puede ser arbitrariamente alto. ¿Estás pensando específicamente en órbitas enlazadas?

Juan Rennie · Answer 1

Esto resulta tener una respuesta realmente aburrida. Podemos encontrar las dos órbitas circulares encontrando los máximos y mínimos del potencial efectivo, y obtenemos:

\begin{matrix} (1) & r = \frac{L^{2}}{2 METRO} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{12 {METRO}^{2}}{L^{2}}}) \end{matrix}

$r = \frac{L^2}{2M}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{L^2}}\right) \tag{1}$

donde el $+$ da la órbita estable exterior y la $-$ da la órbita interna inestable. Tenga en cuenta que ambas órbitas existen sólo para $L^2 \ge 12M$ , que da el resultado esperado para la órbita estable más interna $r = 6M$ .

De todos modos, si tomamos el límite de grandes $L$ encontramos:

r \propto L^{2}

$r \propto L^2$

Entonces podemos hacer $L$ tan grande como queramos haciendo el radio orbital tan grande como queramos.

Esto se entiende fácilmente observando la órbita clásica. La velocidad orbital cae con el radio orbital como $v = \sqrt{GM/r}$ entonces $\omega=\sqrt{GM/r^3}$ , pero el momento de inercia aumenta como $I=mr^2$ . Ponlo todo junto y obtendrás $L=I\omega=m\sqrt{GMr}$ .

Momento angular máximo para una órbita en GR

singularidad_insignificante

Juan Rennie

singularidad_insignificante

Respuestas (1)

Juan Rennie

Simulación de sonda relativista atravesando un sistema solar externo

¿Qué tiene de malo la ley de fuerza propuesta por Abraham en la primera teoría de la gravedad de Nordström?

Segunda ley de Kepler en relatividad general

¿Hay un ejemplo físicamente significativo de un potencial escalar de espacio-tiempo?

¿La relatividad especial predeciría la dilatación del tiempo de un satélite geoestacionario en comparación con un observador en la Tierra?

¿Viola la tercera ley de movimiento planetario de Kepler el primer postulado?

Velocidades de reloj relativas de dos satélites con órbitas en la misma dirección pero en dirección opuesta

El tratamiento de Penrose del momento angular relativista

Pequeña partícula que gira alrededor de una estrella de neutrones

¿El giro de la Tierra afecta el movimiento orbital retrógrado de los satélites artificiales?