Segunda ley de Kepler en relatividad general

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Segunda ley de Kepler en relatividad general

faber bosch

La segunda ley de Kepler, que los planetas en órbitas barren áreas iguales en tiempos iguales, es una consecuencia de la conservación del momento angular orbital. En el caso del espacio-tiempo de Schwarzschild, el momento orbital angular aún se conserva. ¿El segundo de Kepler también es válido en el espacio-tiempo de Schwarzschild? ¿Existe una prueba matemática que confirme la ley o no? ¿Se puede hacer algún comentario general con respecto a otras métricas astrofísicas?

Editar:

Para hacer la pregunta más precisa y aclarar los puntos en los comentarios: si se usa el siguiente sistema de coordenadas,

d s^{2} = - (1 - \frac{2 METRO}{r}) d t^{2} + \frac{1}{(1 - \frac{2 METRO}{r})} d r^{2} + d Ω^{2}

$ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}dr^2+d\Omega^2$

Entonces el tiempo es el tiempo coordenado y el área es el área en la $\theta=\frac{\pi}{2}$ plano y calculado con la métrica inducida en el plano.

Usar la métrica de Schwarzschild nos daría la corrección de las leyes de Kepler incluso para la Segunda ley. Deseo saber cómo hacer para calcular esa corrección. Las pistas serán suficientes.

jerry schirmer

Tienes que preguntar "a que hora" y "a que zona"

r^{2} \dot{ϕ}

$r^{2}{\dot \phi}$ es una constante del movimiento, pero el punto es relativo a la longitud del arco, que es el tiempo propio. Si convierte a algo como el tiempo de schwarzschild, o intenta calcular las áreas geométricas, tendrá que preocuparse por los factores del tensor métrico para realizar las conversiones.

jerry schirmer

Además, definir la superficie espacial interior de la órbita es complicado porque la órbita no está cerrada y el horizonte vive dentro de esa superficie.

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Segunda ley de Kepler en relatividad general

Tienes que preguntar "a que hora" y "a que zona" $r^{2}{\dot \phi}$ es una constante del movimiento, pero el punto es relativo a la longitud del arco, que es el tiempo propio. Si convierte a algo como el tiempo de schwarzschild, o intenta calcular las áreas geométricas, tendrá que preocuparse por los factores del tensor métrico para realizar las conversiones.
Además, definir la superficie espacial interior de la órbita es complicado porque la órbita no está cerrada y el horizonte vive dentro de esa superficie.

usuario142288 · Answer 1

Puede encontrarlo en el libro de texto de Chandrasekhar ("La teoría matemática de los agujeros negros" Cap. 3, sec. 19).

Solo necesitas mostrar las leyes de conservación. $r^2 d\phi/d\tau$ de partícula en métrica de Schwarzschild.

Edición 1: Cómo derivar la segunda ley de Kepler aproximada de GR

La métrica estática en $\theta=\pi/2$

d s^{2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{r}} d r^{2} + r^{2} d ϕ

$ds^2=\frac{1}{1-\frac{1}{r}}dr^2+r^2 d\phi$ la medida

\sqrt{γ} \sim r

$\sqrt{\gamma}\sim r$ como

r \to \infty

$r\to\infty$ , por lo que el elemento de área es

d A \sim \frac{1}{2} r^{2} d ϕ

$d A\sim \frac{1}{2}r^2 d\phi$ lo que implica

2 d A / d τ \sim r^{2} d ϕ / d τ = c o n s t

$2d A/d\tau\sim r^2 d\phi/d\tau ={\rm const}$ .

Edición 2: no existe una segunda ley exacta de Kepler en GR.

Ahora, debes considerar la integral completa

\int_{1}^{r_{0}} \frac{r d r}{\sqrt{1 - \frac{1}{r}}}

$\int_{1}^{r_0} \frac{r dr}{\sqrt{1-\frac{1}{r}}}$ Si quieres ver la corrección, sugiero tomar un límite nuevamente, de modo que el sol pueda ser tratado como un punto (no me entiendas mal, he usado la métrica del sol, no el agujero negro, incluso solo hay un pequeña diferencia.) La expansión completa del integrando es

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k - 1)!!}{(2^{k} k!) r^{k - 1}}

$\sum _{k=0}^{\infty } \frac{(2 k-1)!!}{\left(2^k k!\right) r^{k-1}}$ después de la integración, verá que el término principal es la segunda ley de Kepler, el término restante es "corrección".

Demostración $r^2\frac{d\phi}{d\tau}$ No es suficiente. Vea el comentario de @JerrySchirmer.
Indique el motivo por el que cree que el comentario de @JerrySchirmer es irrelevante. ¿Cómo se calcula el área infinitesimal en el $r$ - $\phi$ ¿avión? y ¿cómo se ajusta a la $\sqrt{-g_{00}}$ factor para considerar el tiempo coordinado en lugar del tiempo propio?
Está bien, ya veo. No actualicé la página antes. Por favor, escriba la fórmula precisa para $dA$ antes de tomar el límite. Porque quiero saber el orden del error.
la medida es $\sqrt{\gamma}=r/\sqrt{1-1/r}$ , luego tome el límite, donde el sol puede ser considerado como un punto.
No veo de dónde viene el factor de la mitad. ¿Puede por favor elaborar? $dA=\sqrt{\gamma}rd\phi=r^2/\sqrt{1-r_s/r}d\phi$ ?. No se nos permite usar la fórmula. $\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})$ en espacios curvos, ¿verdad?
1, $dA=\sqrt{\gamma} dr d\phi$ ; 2, tomando el límite, tal que el sol puede ser considerado como punto, 3, el $1/2$ proviene de la integración del $dr$

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