Velocidades de reloj relativas de dos satélites con órbitas en la misma dirección pero en dirección opuesta

La relatividad especial se aplica a los objetos que están en reposo en un marco de referencia inercial, es decir, sin acelerar. Los objetos que se mueven entre sí a velocidad constante pueden tener exactamente un acercamiento más cercano; después se están alejando el uno del otro para siempre.

Cuando sus dos satélites se crucen, habrá un período de tiempo en el que podrá ignorar la curvatura de sus órbitas y analizar sus relojes utilizando la relatividad especial. Sin embargo, ese período de tiempo no se extiende por una media órbita hasta su próxima interacción: si descuidas las aceleraciones de los satélites, nunca se volverán a encontrar. Entonces, la simetría debe restaurarse si trata el problema usando la relatividad general.

Esta es una variación de la bien conocida (aparente) paradoja de los gemelos . La descripción general de este tipo de problemas es la siguiente: Tiene líneas temporales$C_1$y$C_2$que se encuentran en los eventos A y B. Ambos viajeros reinician sus relojes en A y usted quiere saber qué reloj se retrasa (o adelanta) en B, donde se encuentran nuevamente. Para resolver este problema, "simplemente" calcule el tiempo adecuado de cada viajero a lo largo de su propia línea de tiempo y compárelos.

En general, estas integrales de línea se calculan utilizando el tensor métrico (por lo tanto, implícitamente teniendo en cuenta la curvatura del espacio-tiempo, si está presente)

donde la métrica tiene firma$(-+++)$.

En su caso, ignorando el giro del planeta, la situación es simétrica, por lo que el tiempo adecuado a lo largo$C_1$y$C_2$es el mismo.

Si el planeta está girando, entonces el tiempo adecuado en la órbita prograda y retrógrada es en general diferente.

¡Este es un ejemplo perfecto de cómo puede confundirse innecesariamente al no seguir el procedimiento correcto! Las dilataciones del tiempo en la Teoría Especial de la Relatividad (SR) y en la Teoría General de la Relatividad (GR) son siempre con respecto a un reloj del sistema inercial. Ambos satélites son sistemas aceleradores no inerciales, cambiando cada instante. No puede comparar relojes en los dos sistemas no inerciales usando velocidades relativas en las ecuaciones SR. Por lo tanto, los relojes de ambos satélites funcionarán lentamente con respecto a un reloj de sistema inercial y, una vez sincronizados, mostrarán la misma hora para siempre. La ecuación de dilatación del tiempo en SR depende de v ^ 2 y en GR depende solo de la ubicación en el campo gravitacional.

En cualquier instante dado,$A$el reloj se está atrasando en$B$marco de 's (inercial instantáneo).

En cualquier instante dado,$B$El marco de no es el mismo que era hace un instante, y por lo tanto$B$cambia de opinión de un instante a otro sobre cuánto tiempo ha pasado desde que se sincronizaron los relojes y sobre qué tan rápido$B's$propio reloj (así como$A$propio reloj) estaba funcionando en varios momentos en el pasado.

Para el momento$A$y$B$volver juntos,$B$dice:

hay $A$. Su reloj está corriendo lento en este momento. También ha funcionado lento por varios factores en varios momentos desde la última vez que nos reunimos. Mi propio reloj también se ha atrasado por varios factores en varios momentos desde la última vez que nos vimos. Como resultado, nuestros dos relojes son "incorrectos" en el sentido de que el tiempo que (según mi marco actual) ha pasado desde que sincronizamos a cero es diferente del tiempo que se muestra actualmente en ambos relojes.

Por supuesto, puede cuantificar esto, reconstruyendo (a partir de$B$punto de vista de en el instante de la reunión) exactamente qué tan lento iba cada reloj en cada punto en el pasado, y verificando que la desaceleración total en un reloj es igual a la desaceleración total en el otro. Pero, por supuesto, ya sabes por simples consideraciones de simetría cómo resultará esto.

Editado para agregar: (No hay nuevas ideas en este apéndice, solo un poco más de detalle matemático) --- Tome el radio de la tierra como$1$, y suponga que ambos satélites viajan a una velocidad$v$con respecto a un observador terrestre lo llamaré Jack.

Entonces según Jack: A la hora$t$, satélite$A$está sobre el punto$(\cos(vt),\sin(vt))$mientras que el satélite$B$está sobre el punto$(\cos(vt),-\sin(vt))$. Sincronizan sus relojes para$0$en el momento$0$, cuando ambos están sobre el punto$(0,1)$.

Cuando los satélites se cruzan de nuevo (según Jack) en el momento$\pi/v$y ubicación$(0,-1)$. De acuerdo con cualquiera de los satélites, cuya velocidad con respecto a Jack es$(v,0)$, este evento tiene lugar en el momento

(Es decir, esta expresión es, según cualquiera de los satélites, el intervalo de tiempo entre su primer cruce y su segundo cruce).

Pero en el caso del segundo cruce, el tiempo que se muestra en el reloj de cualquiera de los satélites es la longitud del camino.$t\mapsto (t,\cos(vt),\sin(vt))$, cual es

Así, en el momento de su segundo paso, cada satélite dice

Sincronizamos nuestros relojes $T_0$hace minutos, pero ahora nuestros relojes muestran la hora $T_1$, que es menor que $T_0$. Eso se debe a que nuestros dos relojes se han retrasado, en diferentes cantidades en diferentes momentos. En este momento en particular, mi propio reloj está marcando el tiempo perfecto, pero el suyo está retrasado por un factor de $(1-v^2)/(1+v^2)$.

Es una observación estándar en relatividad especial que para que A y B tengan una velocidad constante entre sí (y sin aceleración), tanto A como B experimenten lo mismo y vean que el reloj del otro corre más lento: la situación es perfectamente simétrica. Aquí, en tu caso, la situación es similar, la simetría es perfecta y así cada vez que A y B se crucen, sus relojes estarán perfectamente sincronizados.

Si volvemos a ver el corazón original, todo se reduce a esto: toma 2 naves espaciales que orbitan una sola masa en direcciones circulares opuestas y ambas experimentan gravedad cero.

Parece haber un consenso general de que a medida que los barcos se cruzan, ambos verán que el reloj de los demás pasa el tiempo más lento que el suyo propio. Que sincronicen sus relojes en el instante en que pasan. Claramente, siendo ese el caso, un momento después ambas naves observarían que el reloj de los demás estaba muy ligeramente atrasado con respecto al suyo. Sin embargo, parece haber un consenso general de que cuando los barcos pasen la próxima vez, cada uno observará que sus relojes se sincronizan una vez más. Todas las declaraciones que permiten efectos Doppler, por supuesto.

Entonces... si A va a observar que el reloj de B se pone al día con el suyo, debe haber un período durante el cual A observará que el reloj de B corre más rápido que el suyo. De manera similar, si B debe observar que el reloj de A se pone al día con el suyo, debe haber un período durante el cual B observará que el reloj de A corre más rápido que el suyo. En este escenario, ambas naves experimentan cero g, por lo que solo nos quedan las velocidades relativas de las naves, y esa diferencia cae momentáneamente a cero cuando las 2 naves están una frente a la otra, por lo que eso no resolverá la aparente paradoja.

La única respuesta que se me ocurre se relaciona con la observación de cada nave de la órbita de las otras naves.

Creo que cada uno observará que la otra nave está en una órbita elíptica. Además, a medida que cada uno lleva a cabo sus múltiples cálculos en órbita media para monitorear la posición de las otras naves y "la hora del reloj cuando la luz salió de la otra nave", de hecho observarán que el otro reloj está pasando el tiempo más rápido que el suyo propio alcanzando el punto máximo. donde están uno frente al otro. En ese momento, ambos observarán que el otro está más lejos del objeto que se está orbitando que ellos mismos.

¿Razonable?

Consideremos la imagen.

Satélite dice: "El espejo está delante de mí, el otro satélite está dilatado en el tiempo, recibo señales a un ritmo normal porque el cambio Doppler cancela la lentitud del reloj del otro satélite".

Una versión simplificada: el control terrestre en el polo norte envía señales a un satélite en órbita. El satélite dice: "La estación de control en tierra está delante de mí, la estación está dilatada en el tiempo, recibo señales a una velocidad extra rápida porque el cambio Doppler excede la lentitud del reloj de la estación en tierra.

La razón por la que el satélite dice que el polo norte está delante de él es el llamado efecto de aberración. https://en.wikipedia.org/wiki/Aberration_(astronomy)#Apparent_and_true_positions

Para tener una idea intuitiva de lo que sucede en este caso, podemos compararlo con la resolución del "tercer fotograma" de la paradoja de los gemelos . En esa resolución, cuando el gemelo viajero se da la vuelta, salta a otro marco de referencia. Antes del vuelco se encuentra en un marco que se aleja del gemelo que se quedó en casa. Después del giro, se encuentra en un cuadro que se mueve hacia el gemelo de casa. Ese nuevo marco tiene una percepción diferente sobre lo que muestra el reloj del gemelo local. Es como si el giro repentinamente adelantara el reloj del gemelo hogareño, al menos en la percepción del gemelo viajero.

Algo similar sucede aquí. Debido a la velocidad relativa entre los satélites, cada satélite debería ver el reloj del otro correr más lento. Pero cada satélite también está cambiando su dirección todo el tiempo. En cierto sentido, salta constantemente a un nuevo marco de referencia que se mueve en una dirección ligeramente diferente. Cada uno de esos saltos hace que la (percepción de) el otro reloj salte hacia adelante de la misma manera que para el giro en la paradoja de los gemelos. Debido a que este "salto de fotogramas" es un proceso continuo, da como resultado una frecuencia de reloj percibida más alta del otro reloj.

Luego, el resultado final debe ser verificado por alguien con conocimientos de Relatividad General. Pero basándome en estos argumentos, predeciría que perciben que los relojes de los demás corren a un ritmo más lento en el momento en que se cruzan. Pero eso se compensa con una tasa percibida más rápida cuando están en lados opuestos del planeta.

La disposición que describe es completamente simétrica entre A y B, por lo que el tiempo transcurrido para una órbita será el mismo para cada satélite.

Su pregunta acerca de cómo ambos relojes pueden funcionar más lento que el otro se basa en un concepto erróneo común sobre la naturaleza de la dilatación del tiempo. La dilatación del tiempo es otro efecto completamente simétrico en SR y resulta del hecho de que dos marcos de referencia que se mueven entre sí tienen planos inclinados de tiempo constante. Un plano de tiempo nivelado en un marco corresponde a un corte inclinado a través del tiempo en el otro, siendo la pendiente ascendente en la dirección del movimiento. Esto significa que si sincroniza su reloj en t'=t=0 con un reloj que pasa en el otro marco, en ese instante, cuando es t'=0 en todas partes de su marco, ya es más tarde que t=0 en todas partes por delante . de ti, el valor de t aumenta con la distancia .

Imagina que estás viajando y configuras tu reloj en t = 0, y en algún punto delante de ti hay una persona cuyo reloj está configurado 1 s antes que el tuyo. Si luego toma 100s para llegar a esa persona, encontrará que su reloj marca 101s cuando llegue allí, no porque marque más rápido que su reloj, sino porque ya mostraba 1s cuando comenzó su viaje.. Eso es ampliamente análogo a la forma en que aumenta la dilatación del tiempo en SR. No es porque los relojes en movimiento se desaceleren, sino porque el camino que toman a través del espacio-tiempo tiene un tiempo transcurrido más corto que correctamente miden como menor. Este es un punto clave para recordar acerca de la dilatación del tiempo si desea evitar varios conflictos lógicos basados ​​en conceptos erróneos. Surge no porque un reloj vaya más lento que otro, sino porque un reloj en movimiento se compara con relojes sucesivos en el otro marco que están progresivamente desincronizados con el tiempo en el marco del reloj en movimiento.

El ejemplo que diste se basa en la idea errónea de que cada reloj funciona más lentamente que el otro, lo cual es lógicamente imposible. El hecho de que los satélites estén acelerando constantemente hace que la configuración sea más complicada y, por lo tanto, más fácil de malinterpretar, pero puede reducirlo a un experimento mental en el que los corredores corren en direcciones opuestas alrededor de un cuadrado y, si lo desea, puede reemplazar el cuadrado. con un hexágono y luego con un octágono y así sucesivamente hasta que termines con un círculo, la física siempre es la misma.

Y en respuesta a algunos de los otros comentarios, el arreglo que describes en principio no es diferente a una versión de la paradoja de los gemelos en la que ambos gemelos viajan de ida y vuelta en direcciones opuestas y tienen la misma edad cuando se reencuentran, en a pesar de que cada uno ha estado constantemente dilatado en el tiempo en el marco del otro a lo largo del viaje.

La respuesta correcta es que ambos relojes marcarían a la misma velocidad, ya que su velocidad absoluta es idéntica (7,9 km/seg). La velocidad absoluta es la que hace que los relojes vayan más lentos, no la velocidad relativa. La relatividad especial está mal. Produce resultados utilizables solo cuando compara objetos de alta velocidad con objetos de baja velocidad, donde las velocidades absolutas y relativas son similares.

En su caso, los objetos tienen una velocidad orbital idéntica y las velocidades orbitales son absolutas. No necesita otro objeto para medir la velocidad orbital, por lo que la velocidad de rotación no necesita relatividad (es absoluta). Por lo tanto, usar la rotación es la forma más fácil de refutar la relatividad.

Esto no significa que la transformación de Lorentz sea incorrecta. Es correcto, pero hay que usarlo con velocidades absolutas, no relativas. En otras palabras, los relojes de los satélites funcionan más lentamente que los relojes de la superficie terrestre.

¿Por qué? Porque los satélites orbitan la Tierra a 7,9 km/s para mantener su órbita, mientras que la superficie del planeta, en el ecuador, viaja a 0,46 km/s. Así que tienes una diferencia de 7,4 km/s entre la superficie y el satélite, lo que hace que el reloj del satélite sea más lento.

Sin embargo, los satélites tienen relojes que funcionan por igual, ya que todos viajan a la misma velocidad. Es por eso que la diferencia horaria no se acumulará. No hay dilatación del tiempo entre los satélites. Sus relojes atómicos funcionan al mismo ritmo, porque los satélites tienen la misma velocidad.

Sin embargo, los relativistas se niegan a aceptar esta simple verdad y están dispuestos a introducir las explicaciones y fórmulas más complejas para intentar mantener viva la teoría muerta. No es posible. La relatividad especial es incorrecta, pero las transformaciones de Lorentz que usan velocidades absolutas todavía se usan para ajustar dispositivos GPS y otras medidas.