En The Road to Reality de Roger Penrose , el momento angular relativista en se define en la página 437 como la 'cantidad tensorial'
dónde es el -vector del punto en la línea de universo de la partícula en el momento en que se considera su momento angular' y es la energía-momento -vector.
Mi pregunta es esta: ¿ Cómo voy a darle sentido a esto? Hasta donde yo entiendo, es simplemente la coordenada (en algún parche de coordenadas) en nuestro Lorentziano -variedad (que tiene una conexión plana en el contexto de la relatividad especial y posiblemente una con curvatura en el de la relatividad general resultante de la presencia de masa; aunque supongo que esto es irrelevante, creo que Penrose está hablando aquí de lo primero). Entonces, no hay noción de tensor con cualquier cosa.
Existe la posibilidad de que esté hablando del estándar real. -espacio con un -métrico, en cuyo caso puede ser visto como un -vector, pero creo que esto debería verse como una característica accidental y no debería ser fundamental para la definición. Obviamente, esto sería similar a la mecánica newtoniana, incluso entonces hay ambigüedades resultantes de identificaciones no especificadas. En cualquier caso, ¿cuál es la definición en el caso general (sobre un modelo lorentziano)? -colector)?
Viendo como deseamos tensar con , podemos, por ejemplo, identificar el espacio tangente con una pequeña vecindad de coordenadas a través del mapa exponencial y empujar arriba de esta manera. No sé si este es el procedimiento estándar. Además, tenga en cuenta que todavía no he leído más en el libro.
PD: tengo conocimientos matemáticos, por lo que es muy posible que no haya entendido algunos puntos clave.
Hay dos cosas que suceden aquí que necesitan ser aclaradas.
Hasta donde yo entiendo, es simplemente la coordenada (en algún parche de coordenadas) en nuestra variedad Lorentziana de 44 [...]
No es verdad. La notación en la ecuación. parece una notación de índice concreta, que dependería de las coordenadas. no lo es La convención moderna es que los índices latinos son índices abstractos, y solo los índices griegos son concretos y están vinculados a un sistema de coordenadas particular. Penrose fue quien básicamente inventó y popularizó esta notación. Eso significa que debe interpretarse no como un componente de un vector sino como un vector completo, y no toma un valor numérico como 2 o 3.
Viendo como deseamos tensar con , podemos, por ejemplo, identificar el espacio tangente con una pequeña vecindad de coordenadas a través del mapa exponencial y empujar arriba de esta manera. No sé si este es el procedimiento estándar.
En un espacio-tiempo plano, este problema ni siquiera surge. Simplemente puede elegir un punto arbitrario como origen y luego puede referirse a una posición como un vector. No se implican ni se requieren coordenadas.
Para la generalización a un espacio-tiempo curvo, creo que tienes la idea correcta cuando hablas de un vecindario, porque esta definición claramente solo funciona en un vecindario. Sin embargo, no necesita hacer esto eligiendo un conjunto aleatorio de coordenadas y sometiéndolas a manipulaciones. Para un esbozo más explícito de los procedimientos de aproximación, véase Hawking y Ellis, The large scale structure of space-time, pp. 62-63. Invocan coordenadas ortonormales locales, pero eso es solo una conveniencia.
El problema más grande e inevitable en un espacio-tiempo curvo es que no obtienes leyes de conservación integrales, incluso para escalares. Esto se discute en Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation, p. 457. Por ejemplo, la energía no se conserva en escalas cosmológicas. El punto de introducir una cantidad como es que va a satisfacer una ley de conservación diferencial .
R. Rankin