¿Viola la tercera ley de movimiento planetario de Kepler el primer postulado?

Parece como si la tercera ley del movimiento planetario de Kepler solo fuera válida en el marco de reposo del sistema solar. ¿Viola esto el Primer Postulado de la Relatividad Especial?

No. Simplemente significa que las leyes de Kepler no son en realidad leyes de la física. En cambio, son aproximaciones a las leyes de la física en el límite no relativista

Creo que el análisis que se está realizando en estas preguntas y respuestas se basa en un simple malentendido de la relatividad. El Principio de la Relatividad (referido anteriormente como el 1er Postulado) establece que las leyes de la física son válidas en cualquier marco de referencia inercial localmente en ese marco. Esto significa que si el observador se mueve a$0.866c$(wrt the Solar System) hace un experimento en un laboratorio en su propia nave espacial, donde todo en el laboratorio está estacionario con respecto a él, todas las leyes físicas normales del movimiento se mantendrán. Cada resultado de su laboratorio coincidirá con los resultados de nuestros laboratorios en la Tierra. Si todo su sistema solar a su alrededor se está acelerando a través de la galaxia en$0.866c$(por ejemplo, así ), la tercera ley de Kepler se cumplirá para ese sistema tan bien como para el nuestro.

El Principio de la Relatividad no dice que los eventos y objetos lejanos se verán iguales independientemente de su estado de movimiento. De hecho, el aspecto innovador de la teoría de la relatividad fue que, para que el primer párrafo sea cierto, los eventos y objetos que se mueven en relación con el espectador deben verse diferentes. Por ejemplo, en el artículo original de Einstein de 1905, muestra que una esfera rígida (Sec. 4), vista desde un punto de vista estacionario, será un elipsoide comprimido en la dirección del movimiento cuando se vea desde un marco en movimiento. Esto se aplicará a la forma de las órbitas planetarias en el ejemplo original (especialmente si las velocidades orbitales de los planetas son mucho menores que la velocidad de la luz, como es el caso), así como a las formas de los propios planetas. Del mismo modo, la luz que tiene una cierta frecuencia cuando se ve en el mismo marco que la fuente se desplazará hacia el azul y será de mayor intensidad cuando la fuente se mueva hacia el observador (Sección 7).

Todos estos efectos se derivan de un observador que ve un objeto o evento que está lejos y/o se mueve en relación con él . Pero la Relatividad Especial garantiza que para los eventos en su vecindad inmediata y estacionarios con respecto a usted, las leyes de la física no dependen de su velocidad de movimiento (con respecto a otra cosa). Así, no existe un marco preferente de "reposo absoluto", porque todo está en reposo absoluto con su entorno inmediato.

Si bien se sabe que la tercera ley de Kepler es cierta en el marco de reposo del sistema solar, se puede demostrar que no es válida cuando los observadores la aplican al sistema solar en otros marcos de referencia inerciales. Esto entra en conflicto con el primer postulado de la relatividad especial que requiere que las leyes de la física sean válidas y tomen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales.

En una primera aproximación, la tercera ley de Kepler de los estados de movimiento planetario

dónde$K$tiene el valor numérico$7.5x10^{-6}$cuando el periodo orbital$T$se mide en$days$y el semieje mayor de la órbita$R$se mide en unidades astronomicas$AU$.

El período orbital de la tierra en el marco de reposo del sistema solar es

$T=365\,days$

La dilatación de tiempo de Lorentz para el período orbital de la tierra entre el marco de reposo del sistema solar y todos los demás marcos de inercia es

$T'=\biggl(\frac{365\,days}{\gamma}\biggr)$

El semieje mayor (y el semieje menor) de la órbita terrestre es idéntico para todos los marcos de inercia donde el vector de velocidad del observador es colineal con el eje de rotación del sol.

$R'=R=1AU$

Entonces, la expresión relativista de la tercera ley de Kepler cuando el vector de velocidad del observador es colineal con el eje de rotación del sol es

De esto si se sigue que

$133333\,days^2 =\biggl(\frac{365\,days}{\gamma}\biggr)^2$

$365\,days = \frac{365\,days}{\gamma}$

$365\,days-365\,days\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0$

La última ecuación solo es válida en el marco de reposo del sistema solar donde$v=0$. La ecuación no es válida en todos los demás marcos inerciales, lo que es una violación del primer postulado de la relatividad especial.

La primera respuesta busca invalidar las leyes de Kepler como sólo “aproximaciones a las leyes [reales] de la física en el límite no relativista”. Luego se deja a la imaginación del lector cómo se verían esas leyes de la física relativistamente correctas en este caso. Esto parece demasiado desdeñoso.

Demostraré que de hecho es la tercera ley de Kepler la que invalida la relatividad especial y/o general, y no al revés. En la demostración se empleará el método de reductio ad absurdum.

Considere la situación descrita anteriormente en la pregunta original. La trayectoria del observador distante garantiza que la órbita de la tierra alrededor del sol no se distorsione por la contracción de Lorentz. El observador lejano observa el Big Ben de Londres con un potente telescopio. Teniendo en cuenta el doppler relativista, en .867c, el observador distante mide que el Big Ben mantiene el tiempo a solo la mitad de la velocidad de su propio reloj de pulsera. Esto está de acuerdo con la relatividad especial.

Desde el punto de vista del observador distante, para que el Big Ben y el período orbital de la Tierra permanezcan sincronizados a 730,5 revoluciones de la manecilla del Big Ben por cada revolución que da la Tierra alrededor del Sol, la velocidad orbital de la Tierra tendrá que disminuir a la mitad de la velocidad que medimos en el marco de reposo del sistema solar. Hasta ahora, todo bien.

Pero surge un problema cuando consideramos que mientras la velocidad orbital de la Tierra se ha reducido a la mitad, la curvatura del espacio-tiempo en la que viaja la Tierra no se ha reducido en absoluto. Eso permanece invariable para todos los observadores en todos los marcos de inercia:

¿La curvatura del espacio-tiempo en la vecindad de un cuerpo masivo aumenta, disminuye o permanece sin cambios con el aumento de la velocidad de un observador?

Hemos construido una situación en la que la Tierra viaja en la misma curvatura del espacio-tiempo, pero a una velocidad que sabemos que es demasiado lenta para mantener su órbita alrededor del sol. En este ejemplo encontramos, para nuestra vergüenza, que el destino de la tierra está en manos de un observador distante que controla si la tierra girará o no en espiral hacia el sol.