¿Por qué los líquidos de Fermi tienen resistividad T2T2T^2?

Cómo la interacción electrón-electrón conduce a una$T^{2}$la dependencia se puede explicar mediante la comprensión de las restricciones impuestas a la dispersión de electrones por la conservación del momento y el Principio de Exclusión.

Considere la superficie de Fermi de un gas de electrones en 3D. La superficie de Fermi es una esfera de radio$k_{f}$. A temperaturas finitas, los electrones ocupan estados fuera de la superficie de Fermi gobernados por la ecuación de Fermi Dirac, caracterizada por una capa fuera de la esfera de Fermi con un radio proporcional a la temperatura. Hay, por lo tanto, estados vacíos dentro de la esfera de Fermi dentro de una capa del mismo radio.

Si activamos las interacciones electrón-electrón, en fuerzas de interacción pequeñas, podemos considerarlo como una dispersión de electrones entre estos estados en la imagen anterior que no interactúa. Los electrones, al ser fermiones, solo pueden ocupar estados que ya no están ocupados, junto con la conservación satisfactoria del impulso. Por lo tanto, tenemos que elegir dos electrones, los cuales están en las capas de radio proporcional a T, a cada lado de la superficie de radio$k_{f}$, para que uno pueda dispersarse en un estado vacío fuera del$k_{f}$superficie y el otro en un estado vacío en el caparazón dentro del$k_{f}$superficie. Por lo tanto, la probabilidad de elegir dos de esos electrones es proporcional a$T^2$.

Dado que la contribución a la resistividad es proporcional a la probabilidad de estos eventos de dispersión, estas interacciones conducen a una$T^2$dependencia en la resistividad.

Hay argumentos más rigurosos, pero creo que esto da una imagen intuitiva, válida en el contexto de interacciones débiles y baja temperatura.

¿O tal vez podría señalarme una buena referencia?

Los detalles detrás de la siguiente respuesta se pueden encontrar en el siguiente artículo de arXiv (y las referencias que contiene) arXiv:1109.3050v1 .

¿Hay un argumento simple para demostrar esto?

Parece que no, pero puedo decir lo siguiente. La conductividad debida a las colisiones electrón-electrón generalmente viene dada por:

$$\sigma = \frac{ n \ e^{2} \ \tau_{coll} }{ m } \tag{0}$$ dónde $\sigma$es la conductividad eléctrica, $n$es la densidad numérica de electrones, $e$es la carga fundamental , $m$es la masa del electrón , y $\tau_{coll}$es la escala de tiempo de colisión promedio (o tasa de relajación). Tenga en cuenta que la resistividad , $\eta$, es justo el inverso de la conductividad en la aproximación escalar.

Para un líquido de Landau-Fermi , se puede demostrar que la tasa de relajación promedio de los electrones en una superficie de Fermi es:

$$\tau_{coll}^{-1} = \frac{ \alpha \ \left( m* \right)^{3} \ \left( k_{B} \ T \right)^{2} }{ 12 \ \pi \ \hbar^{6} } \ \langle \frac{ W\left( \theta, \phi \right) }{ \cos{\left( \theta/2 \right)} } \rangle \tag{1}$$ dónde $\alpha$es la eficiencia de la transferencia de cantidad de movimiento a la red iónica como una cantidad adimensional que satisface $\alpha$< 1, $k_{B}$es la constante de Boltzmann , $\hbar$es la constante de Planck , $W\left( \theta, \phi \right)$es la probabilidad de transición para la dispersión inelástica.

Citando el documento arXiv mencionado anteriormente:

Sin embargo, el hecho de que un sólido no posea simetría de traslación completa tiene consecuencias importantes. Ya en 1937 Baber demostró un mecanismo para resistividad finita en un modelo de dos bandas en el que$s$Los electrones se dispersan de los más pesados.$d$agujeros por una interacción de Coulomb apantallada... Los procesos Umklapp de banda única permiten la transferencia de momento al sistema de coordenadas del cristal...

donde los procesos Umklapp se refieren a la dispersión electrón - fonón y/o fonón-fonón en una red. Los autores también muestran que el término entre paréntesis angulares se puede integrar a lo siguiente:

$$\langle \frac{ W\left( \theta, \phi \right) }{ \cos{\left( \theta/2 \right)} } \rangle = 12 \lambda_{\tau}^{2} \frac{ \left( \pi \ \hbar \right)^{5} }{ \left( m* \right)^{3} \ \epsilon_{F}* } \tag{2}$$ dónde $\lambda_{\tau}$es un parámetro adimensional que describe la interacción efectiva en la dispersión polaron -polaron y $\epsilon_{F}*$es la energía de Fermi de los polarones. Después de un poco de álgebra, podemos demostrar que: $$\frac{ \hbar }{ \tau_{coll} } = \alpha \ \lambda_{\tau}^{2} \frac{ \pi }{ \epsilon_{F}* } \left( \pi \ k_{B} \ T \right)^{2} \tag{3}$$

Por lo tanto, la resistividad es proporcional a$\eta \propto T^{2}$.