Libertad en la Elección de una Función Beta en RG

Supongamos que tenemos un cierto modelo estadístico, digamos el modelo de Ising de rango infinito

$$\begin{equation} H_{N}\{\vec\sigma_{N}\}~=~ - \frac{x_{N}}{2N} \sum_{i,j =1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{j} \end{equation}$$

con$N\rightarrow\infty$, dónde$N$es el número de vueltas,$\sigma_{i} \in \{ \pm 1 \}$para todos$i\in\{ 1..N \}$,$\vec\sigma_{N} = (\sigma_{1}, ... , \sigma_{N})$y$x_{N}:=\beta J$siendo J la fuerza de acoplamiento entre los espines. Además$\beta := \frac{1}{k_{B}T}$con$k_{B}$la constante de Boltzmann y T la temperatura.

en el limite$mx\ll1$se puede implementar un procedimiento de renormalización de la forma$Z_{N}(x_{N}) = \exp(-f_{N}(x_{N})) \cdot Z_{N-1}(x_{N-1})$donde intuitivamente un paso en el proceso de RG consiste en la reducción de un sitio de giro. en el límite como$N\rightarrow\infty$uno puede escribir el flujo de las constantes de acoplamiento como una ecuación diferencial de la forma$\frac{dx}{dl} = (-x + x^{2})$donde el campo vectorial$\beta(x):=-x + x^{2}$suele llamarse función beta.

Me dijeron que la "física" principal (es decir, los exponentes críticos más probables) del RG está contenida por completo en los puntos críticos de la función beta, es decir, la x para la cual$\beta(x)=0$. En particular, me dijeron que uno puede cambiar el$\beta$-funcionan "arbitrariamente" siempre que los puntos críticos sean los mismos. Entonces, en principio, uno podría usar$\beta'$en lugar de$\beta$dónde$\beta'$tiene los mismos ceros que$\beta$y obtener la misma física. En particular, podría, por ejemplo, a un cambio de escala, es decir, elegir$\beta' := \lambda \cdot \beta$por algún número real$\lambda$.

Realmente no entiendo por qué esto es cierto? En el caso de una constante de acoplamiento, es un poco comprensible ya que solo disminuye la "velocidad", por así decirlo, a medida que uno se mueve de un punto crítico a otro. Pero cuando uno tiene más constantes de acoplamiento en el proceso RG (como un campo magnético), no veo por qué debería ser así. ¿Existe cierta libertad general en la elección de una función beta?

Espero sus respuestas :)