Modelo 2d Ising en CFT y mecánica estadística

Cuando recientemente comencé a leer sobre la teoría del campo conforme , uno de los ejemplos básicos es el llamado modelo de Ising. Se caracteriza por cierta colección específica de campos en el plano actuado por el álgebra de Virasoro con cierta carga central, y por una expansión específica del producto del operador . En la literatura de campos conformes que leí se afirma que este modelo proviene de la mecánica estadística.

En la literatura sobre mecánica estadística lo que se denomina modelo de Ising . Es algo completamente diferente: uno fija una red discreta en el plano, y solo hay un campo que adjunta números ± 1 a cada vértice de la red.

Por lo que escuché, existe una noción de límite de escala cuando el espaciado de la red tiende a cero. En este límite (¿a la temperatura crítica?) algunas cantidades importantes convergen en un límite. Mi conjetura es que este límite de escala debería ser de alguna manera relevante para conectar los dos modelos de Ising que mencioné anteriormente.

Pregunta. ¿Hay un buen lugar para leer sobre la relación explícita entre los dos modelos de Ising? En particular, me interesaría entender cómo obtener la expansión del producto del operador y el cargo central a partir de la descripción de la mecánica estadística.

La "Física estadística de los campos" de Kardar es un excelente recurso para esto (así como el "gran libro amarillo" de Di Francesco, aunque en mi opinión es menos pedagógico).

Respuestas (2)

En CFT, estamos interesados ​​en el límite continuo , donde podemos clasificar clases de modelos en sus puntos críticos.

Mediante la transformación de Jordan-Wigner se puede construir un operador de fermiones a partir de los operadores de espín del modelo 2D Ising habitual. Entonces, el modelo de Ising crítico continuo se describe mediante un fermión real sin masa:

S = 1 2 ∫ d 2 z ( ψ ∂ ¯ ψ + ψ ¯ ∂ ψ ¯ )
a partir de la cual se puede calcular la función de correlación y el tensor tensión-energía.

Puede leer más sobre esto en las siguientes referencias:

(1) Schultz, "Modelo de Ising bidimensional como problema soluble de muchos fermiones", 1964

(2) Di Francesco, "Teoría de los campos conformes", 1997

La correspondencia se explica precisamente en mi respuesta a ¿Cuál es la diferencia entre la invariancia de escala y la autosimilitud?

A nivel de correlaciones euclidianas se tiene para puntos distintos X 1 , … , X norte en R 2 , la relación

⟨ ϕ ( X 1 ⋯ ϕ ( X norte ) ⟩ = límite ε → 0 + ϵ − norte 8 ⟨ σ ⌊ ϵ − 1 X 1 ⌋ ⋯ σ ⌊ ϵ − 1 X norte ⌋   ⟩   .
Aquí ⌊ ⋯ ⌋ significa las partes enteras de las coordenadas. A la derecha, se tiene la correlación del modelo crítico de Ising en la red unitaria. A la izquierda, se tiene la correlación de la Euclidean Ising CFT.

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