Minimizar la acción lagrangiana de un problema imposible

Question

Minimizar la acción lagrangiana de un problema imposible

Física
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
principio variacional
deberes-y-ejercicios

saga yati

Estoy trabajando en Estructura e interpretación de la mecánica clásica ( SICM ) y estoy atascado en un ejercicio en la Sección 1.4 :

Ejercicio 1.6. Acción de minimización: supongamos que tratamos de obtener un camino minimizando una acción para un problema imposible. Por ejemplo, supongamos que tenemos una partícula libre e imponemos condiciones de punto final sobre las velocidades y las posiciones que son inconsistentes con la partícula libre. ¿Se protege el formalismo de tan desagradable ataque? Puede resultarle esclarecedor programarlo y ver qué sucede.

Si bien entiendo totalmente lo que se supone que debo hacer aquí (por ejemplo, usar el Lagrangiano para la partícula libre, pero una función de ruta que es (x(t), y(t), z(t)) = (sin, cos, identidad), por ejemplo), no soy capaz de imponer velocidades de punto final .

La función que estoy minimizando toma un montón de puntos intermedios y usa la interpolación lagrangiana para ajustarle un polinomio. Entonces, en el caso de la partícula libre, los parámetros óptimos serán tales que la curva ajustada sea aproximadamente una línea recta. Creo que sin imponer velocidades de punto final, no es posible obtener un problema "inconsistente", ya que dos puntos cualesquiera en el espacio de configuración pueden unirse mediante un hiperplano, que seguirá la trayectoria de una partícula libre.

PD: Soy programador y me encantaría trabajar en este libro con alguien con más conocimientos de física.

kyle kanos

La minimización sigue a pequeñas perturbaciones,

x (t) \to x + η

$x(t)\to x+\eta$ tal que

η (t_{1}) = η (t_{2}) = 0

$\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . ¿Has visto esto para obtener las ecuaciones de movimiento de Euler-Legrange?

saga yati

Todavía no he llegado a la parte donde el libro explica las ecuaciones de Euler-Lagrange; pero sí, he usado perturbaciones escaladas

x (t) \to x + ϵ η

$x(t) \rightarrow x + \epsilon \eta$ , de modo que al minimizar la acción se obtiene un cero

ϵ

$\epsilon$ . Lo que no puedo hacer es especificar velocidades absurdas en t1 y t2 que son inconsistentes con el Lagrangiano elegido (el de una partícula libre en este caso).

mmesser314

Puede encontrar que las conferencias de David Tong sobre mecánica clásica son un complemento útil para este libro. damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html

Respuestas (2)

Minimizar la acción lagrangiana de un problema imposible

La minimización sigue a pequeñas perturbaciones, $x(t)\to x+\eta$ tal que $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . ¿Has visto esto para obtener las ecuaciones de movimiento de Euler-Legrange?
Todavía no he llegado a la parte donde el libro explica las ecuaciones de Euler-Lagrange; pero sí, he usado perturbaciones escaladas $x(t) \rightarrow x + \epsilon \eta$ , de modo que al minimizar la acción se obtiene un cero $\epsilon$ . Lo que no puedo hacer es especificar velocidades absurdas en t1 y t2 que son inconsistentes con el Lagrangiano elegido (el de una partícula libre en este caso).
Puede encontrar que las conferencias de David Tong sobre mecánica clásica son un complemento útil para este libro. damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html

Pedro Kravchuk · Answer 1

Si su acción solo depende de las primeras derivadas, entonces no se requiere que la trayectoria tenga una segunda derivada, es decir, un cambio abrupto en la velocidad por sí mismo no contribuye a la acción. En otras palabras, no hay penalización por cambiar su velocidad instantáneamente. Entonces significa que puede ignorar los valores límite de las velocidades; puede cambiarlos instantáneamente de todos modos.

Para una partícula libre es un hecho fácil que la trayectoria en línea recta entre los puntos finales es el mínimo absoluto de acción. Si intenta prescribir los valores límite para las velocidades, entonces la trayectoria seguirá siendo la misma: ignorará sus prescripciones porque puede hacerlo. No puede ignorar sus condiciones de contorno de coordenadas, ya que cambiar las coordenadas instantáneamente requiere una velocidad infinita, y la velocidad entra en acción, por lo que habrá una gran penalización por eso.

Ahora, en un aspecto más matemático, puedes decir que consideras el problema de minimización en alguna clase de funciones. Digamos, funciones suaves. Entonces la velocidad no puede cambiar abruptamente. Pero puede cambiar arbitrariamente rápido, y no habrá mínimo en esta clase de funciones de la misma manera que no hay mínimo en el intervalo abierto $(0,1)$ .

qmecanico · Answer 2

Peter Kravchuk ya ha dado una buena respuesta. Aquí seguiremos la sugerencia de programación dada en el Ejercicio 1.6 como una forma de aclarar el problema.

¿Cómo se programaría este problema de minimización? Por discretización . Entonces las posiciones ${\bf r}_n$ vivir en tiempos discretos

t_{norte} = norte Δ t, Δ t := \frac{T}{norte}, norte \in {0, \dots, norte} .

$t_n~=~n\Delta t,\qquad\Delta t ~:=~\frac{T}{N},\qquad n\in\{0,\ldots,N\}.$

Las velocidades se discretizan como, por ejemplo,

v_{norte} := \frac{r_{norte} - r_{norte - 1}}{Δ t} norte \in {1, \dots, norte} .

${\bf v}_n~:=~ \frac{{\bf r}_n-{\bf r}_{n-1}}{\Delta t}\qquad n\in\{1,\ldots,N\}.$

(La acción solo depende de derivadas hasta primer orden, por lo que no tenemos que considerar la aceleración, etc.)

A continuación, se corrigen las condiciones de contorno de dos posiciones (BC). ${\bf r}_0$ y ${\bf r}_N$ . Los dos BC de velocidad luego fijan los vecinos ${\bf r}_1$ y ${\bf r}_{N-1}$ . ¿Cómo serían las posiciones restantes?

r_{norte}, norte \in {2, \dots, norte - 2},

${\bf r}_n,\qquad n\in\{2,\ldots,N-2\},$

conformarse con minimizar la acción? Obviamente, este problema discretizado es efectivamente equivalente a un problema variacional entre $t_1$ y $t_{N-1}$ con BC de Dirichlet ${\bf r}_1$ y ${\bf r}_{N-1}$ , donde simplemente ignoramos los dos puntos más externos ${\bf r}_0$ y ${\bf r}_N$ .

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saga yati

kyle kanos

saga yati

mmesser314

Respuestas (2)

Pedro Kravchuk

qmecanico

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