Derivación de la primera ley de Newton a partir del principio de mínima acción

Question

Derivación de la primera ley de Newton a partir del principio de mínima acción

Omar Naguib

La primera ley de Newton establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, entonces este objeto se mueve con velocidad constante.

Estoy interesado en la derivación de esta ley del principio de acción mínima. Lo que debería probarse es bastante sencillo: dado un objeto que se encuentra en un sistema aislado sin campos de fuerza, el Lagrangiano de ese objeto es simplemente su energía cinética.

Deje que la función de posición de ese objeto esté dada por $x(t)$ . Esta es una función no lineal arbitraria. su energía cinética está dada por $\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2$ . dado un intervalo de tiempo $[t_1, t_2]$ , la acción de este objeto es la integral de tiempo de su Lagrangiano (su energía cinética en este caso) de $t_1$ a $t_2$ :

acción = S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{1}{2} metro [X^{'} (t)]^{2} d t .

$\text{action}=S=\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2 dt \, .$

Si el objeto se movió con un movimiento uniforme a lo largo $x(t_2)-x(t_1)$ en el intervalo $[t_1,t_2]$ entonces su velocidad está simplemente dada por la velocidad promedio: distancia total por tiempo:

v_{promedio} = \frac{X (t_{2}) - X (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} .

$v_{\text{average}} = \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \, .$

Usando el principio de mínima acción, probar la primera ley de Newton es equivalente a probar que la acción dada por

\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{1}{2} metro {[\frac{X (t_{2}) - X (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}]}^{2} d t

$\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2} m \left[ \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \right]^2 dt$

siempre es menor que la de

\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{1}{2} metro [X^{'} (t)]^{2} d t .

$\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}m[x'(t)]^2 dt.$

Esta es mi comprensión del problema. Feynman en sus conferencias da un argumento para convencernos de por qué el resultado anterior que afirmé debe ser cierto (el resultado es que la integral de tiempo de la energía cinética de un objeto en movimiento uniforme es siempre menor que la de un objeto en movimiento no uniforme) :

“Como ejemplo, digamos que su trabajo es salir de casa y llegar a la escuela en un período de tiempo determinado con el automóvil. Puedes hacerlo de varias maneras: puedes acelerar como un loco al principio y frenar con los frenos cerca del final, o puedes ir a una velocidad uniforme, o puedes ir un rato hacia atrás y luego avanzar, y así sucesivamente. . La cuestión es que la velocidad media tiene que ser, por supuesto, la distancia total que has recorrido en el tiempo. Pero si haces algo más que ir a una velocidad uniforme, entonces a veces vas demasiado rápido ya veces demasiado lento. Ahora bien, el cuadrado medio de algo que se desvía alrededor de un promedio, como saben, siempre es mayor que el cuadrado de la media; por lo tanto, la integral de energía cinética siempre será mayor si cambias tu velocidad que si vas a una velocidad uniforme.

La parte que entiendo: es cierto que la acción de un objeto que se mueve uniformemente está dada por la integral de " el cuadrado de la media " de la velocidad multiplicada por $\dfrac{1}{2}m$ . Creo que por el cuadrado de la media quiere decir: $v_{\text{average}}^2 = \left[ \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \right]^2$ .

No entiendo cómo el Lagrangiano de un objeto que se mueve de manera no uniforme es igual al " cuadrado medio de algo que se desvía alrededor de un promedio " (nuevamente, multiplicado por $m/2$ ).

Supongo que quiere decir con el cuadrado medio: la media (o promedio) de la energía cinética de ese cuerpo: es decir:

\frac{\frac{1}{2} metro [X^{'} (t_{2})]^{2} - \frac{1}{2} metro [X^{'} (t_{2})]^{2}}{t_{2} - t_{1}} .

$\dfrac{\dfrac{1}{2}m[x'(t_2)]^2-\dfrac{1}{2}m[x'(t_2)]^2}{t_2-t_1}.$

¿Es correcto mi entendimiento? y si es así, ¿cómo es que esta expresión de "cuadrado medio" es igual al lagrangiano de un objeto con movimiento no uniforme?

timeo

No estás deduciendo la primera ley de Newton. Estás derivando un caso especial. La ley de Newton también se aplica a situaciones en las que existe un potencial escalar que resulta ser plano donde se encuentra la partícula. Y en situaciones donde hay múltiples fuerzas pero cero fuerza neta. Además, no vas a derivar la primera ley ya que la formulación lagrangiana deriva la segunda ley, lo que no implica la primera ley.

Respuestas (2)

Derivación de la primera ley de Newton a partir del principio de mínima acción

No estás deduciendo la primera ley de Newton. Estás derivando un caso especial. La ley de Newton también se aplica a situaciones en las que existe un potencial escalar que resulta ser plano donde se encuentra la partícula. Y en situaciones donde hay múltiples fuerzas pero cero fuerza neta. Además, no vas a derivar la primera ley ya que la formulación lagrangiana deriva la segunda ley, lo que no implica la primera ley.

david z · Answer 1

Primero un par de resultados generales: dada una función $f(t)$ y un intervalo $T = [t_1,t_2]$ , el cuadrado de la media de $f$ en $T$ es

⟨ F ⟩_{T}^{2} = (\frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t)^{2}

$\langle f\rangle_T^2 = \biggl(\frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\,\mathrm{d}t\biggr)^2$ y la media del cuadrado de

f

$f$ en

T

$T$ es

⟨ F^{2} ⟩_{T} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} [F (t)]^{2} d t

$\langle f^2\rangle_T = \frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}\bigl[f(t)\bigr]^2\,\mathrm{d}t$ En este caso, la función relevante es la velocidad, por lo que tiene (o puede demostrar) que

\begin{aligned} ⟨ v ⟩_{T}^{2} & = (\frac{X (t_{2}) - X (t_{1})}{t_{2} - t_{1}})^{2} & ⟨ v^{2} ⟩_{T} & = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} [v (t)]^{2} d t \end{aligned}

$\begin{align} \langle v\rangle_T^2 &= \biggl(\frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}\biggr)^2 & \langle v^2\rangle_T &= \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}\bigl[v(t)\bigr]^2\,\mathrm{d}t \end{align}$ Tu error fue pensar que

\begin{matrix} (incorrecto) & ⟨ v^{2} ⟩_{T} = \frac{[v (t_{2})]^{2} - [v (t_{1})]^{2}}{t_{2} - t_{1}} \end{matrix}

$\langle v^2\rangle_T = \frac{\bigl[v(t_2)\bigr]^2 - \bigl[v(t_1)\bigr]^2}{t_2 - t_1}\tag{not correct}$ No siempre se da el caso de que la media sea un valor final menos un valor inicial dividido por el intervalo. Eso solo funciona cuando se puede integrar lo que está calculando la media.

Con eso en mente, debería quedar claro cómo la media del cuadrado es relevante: aparece directamente en el Lagrangiano.

qmecanico · Answer 2

Sugerencias:

Por media/promedio Feynman se refiere a la media/promedio temporal definida como
$\begin{matrix} (1) & ⟨ F ⟩ := \frac{\int_{t_{i}}^{t_{F}} d t F (t)}{t_{F} - t_{i}} . \end{matrix}$ $\tag{1} \langle f \rangle ~:=~\frac{ \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ f(t)}{t_f-t_i} .$
Desigualdad: el cuadrado medio siempre es mayor que el cuadrado de la media
$\begin{matrix} (2) & ⟨ F^{2} ⟩ \geq ⟨ F ⟩^{2} . \end{matrix}$ $\tag{2}\langle f^2 \rangle ~\geq ~ \langle f \rangle^2.$ Hay varias pruebas de ineq. (2), por ejemplo, la varianza siempre es no negativa.
Finalmente poner $f(t)=v(t)$ .

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Omar Naguib

timeo

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david z

qmecanico

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