Derivadas de orden superior en el lagrangiano

Question

Derivadas de orden superior en el lagrangiano

Física
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
principio variacional
deberes-y-ejercicios

Difícil

Estoy tratando de derivar las ecuaciones de movimiento para un Lagrangiano que depende de $(q, \dot{q}, \ddot{q}).$ Procedo por la ruta típica a través del Principio de Hamilton, $\delta S = 0$ al efectuar una variación $\epsilon \eta$ en el camino con $\eta$ suave y desvaneciéndose en los puntos finales. Después de algunas integraciones por partes y desaparición de términos superficiales, llego a (a primer orden en $\epsilon$ ):

d S = \int [η \frac{\partial L}{\partial q} - η \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + η \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}) + \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η)] d t .

$\delta S = \int\left[\eta\frac{\partial L}{\partial q} - \eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) + \eta\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) + \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta \right)\right]\mathrm{d} t.$

Para mí está claro que el último término de la integral anterior debe desaparecer, o cometí un error y no debería aparecer en absoluto. Si es el primer caso, ¿por qué argumento desaparece este término?

Coco

Es una derivada total, así que cuando la integras obtienes

\frac{d}{d t} (η \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})

$\frac{d}{dt}\left(\eta\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right)$ , que desaparece si

η = \dot{η} = 0

$\eta=\dot{\eta}=0$ en los puntos finales.

Difícil

@AccidentalFourierTransform, entiendo que el "argumento estándar" aquí es el de eq. (2.8) en Landau; allí manda que sea una derivada total de una función

f = f (q, t),

$f = f(q,t),$ que no es el caso aquí.

jahan claes

@Diffycue ¡Pero lo es! es la derivada total de

f (q, t) = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η

$f(q,t)=\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot q}\eta$ . Aquí

η

$\eta$ es una función de

t

$t$ , y la derivada del Lagrangiano es una función de

q

$q$ y sus derivados. ¿Qué parte no te gusta?

Difícil

Gracias a todos por responder. @JahanClaes La parte que no me gusta es esa

q,

$q,$

\dot{q}

$\dot{q}$ ,

\ddot{q}

$\ddot{q}$ deben tratarse como coordenadas independientes en el formalismo variacional; entonces no creo que sea el caso que

\frac{d}{d t} [\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η]

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left[\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta\right]$ es sólo una función de

q

$q$ y

t,

$t,$ ya que no se da el caso de que podamos escribir

\dot{q}

$\dot{q}$ o

\ddot{q}

$\ddot{q}$ como funciones de

q

$q$ y

t

$t$ antes de efectuar la variación. ¿Está más clara la raíz de mi confusión?

Coco

Si se trata de un lagrangiano que depende de

q

$q$ ,

\dot{q}

$\dot{q}$ y

\ddot{q}

$\ddot{q}$ entonces diría que la desaparición habitual de las derivadas totales no es cierta a menos que imponga la condición adicional de que la derivada de

q

$q$ desaparece en los puntos finales.

Difícil

@coconut, concedo que el término desaparecerá si especificamos que

\dot{η} = 0

$\dot{\eta} = 0$ en los puntos finales. Pero el enfoque de Landau es el siguiente: "Que el sistema ocupe, en los instantes

t_{1}

$t_1$ y

t_{2}

$t_2$ , posiciones definidas por dos conjuntos de valores de las coordenadas,

q^{(1)}

$q^{(1)}$ y

q^{(2)} .

$q^{(2)}.$ Esto es lo que justifica el establecimiento de la variación en el camino hacia

0

$0$ en los puntos finales; ¿Cuál es la justificación para establecer su derivada temporal en

0

$0$ ¿aquí? (editar: escribí este comentario en respuesta a su primer comentario, pero no creo que su segundo comentario responda la pregunta, así que lo dejaré así)

jahan claes

@Diffycue Creo que respondió a tu pregunta. tienes que asumir

\dot{η} = 0

$\dot\eta=0$ en los puntos finales para obtener la respuesta correcta. Landau no hizo esto porque no estaba considerando un Lagrangiano que dependiera de

\ddot{q}

$\ddot q$ . Además, la ecuación de Landau 8 explícitamente solo se cumple para un Lagrangiano que depende de

q, \dot{q}

$q,\dot q$ .

Coco

@Diffycue Cuando tienes un

\ddot{q}

$\ddot{q}$ lagrangiano -dependiente, la ecuación de movimiento será en general de orden cuatro (en lugar de dos). Eso significa que en lugar de dos condiciones (las posiciones en los puntos finales) necesitamos cuatro. Podemos hacer esto fijando tanto la posición como la velocidad en los puntos finales, lo que significa que

η = \dot{η} = 0

$\eta=\dot{\eta}=0$ allá

Coco

He publicado una respuesta que resume lo que he dicho aquí.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/109518/2451 , physics.stackexchange.com/q/119750/2451 , physics.stackexchange.com/q/169419/2451 y sus enlaces.

Respuestas (1)

Derivadas de orden superior en el lagrangiano

Es una derivada total, así que cuando la integras obtienes $\frac{d}{dt}\left(\eta\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right)$ , que desaparece si $\eta=\dot{\eta}=0$ en los puntos finales.
@AccidentalFourierTransform, entiendo que el "argumento estándar" aquí es el de eq. (2.8) en Landau; allí manda que sea una derivada total de una función $f = f(q,t),$ que no es el caso aquí.
@Diffycue ¡Pero lo es! es la derivada total de $f(q,t)=\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot q}\eta$ . Aquí $\eta$ es una función de $t$ , y la derivada del Lagrangiano es una función de $q$ y sus derivados. ¿Qué parte no te gusta?
Gracias a todos por responder. @JahanClaes La parte que no me gusta es esa $q,$ $\dot{q}$ , $\ddot{q}$ deben tratarse como coordenadas independientes en el formalismo variacional; entonces no creo que sea el caso que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left[\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta\right]$ es sólo una función de $q$ y $t,$ ya que no se da el caso de que podamos escribir $\dot{q}$ o $\ddot{q}$ como funciones de $q$ y $t$ antes de efectuar la variación. ¿Está más clara la raíz de mi confusión?
Si se trata de un lagrangiano que depende de $q$ , $\dot{q}$ y $\ddot{q}$ entonces diría que la desaparición habitual de las derivadas totales no es cierta a menos que imponga la condición adicional de que la derivada de $q$ desaparece en los puntos finales.
@coconut, concedo que el término desaparecerá si especificamos que $\dot{\eta} = 0$ en los puntos finales. Pero el enfoque de Landau es el siguiente: "Que el sistema ocupe, en los instantes $t_1$ y $t_2$ , posiciones definidas por dos conjuntos de valores de las coordenadas, $q^{(1)}$ y $q^{(2)}.$ Esto es lo que justifica el establecimiento de la variación en el camino hacia $0$ en los puntos finales; ¿Cuál es la justificación para establecer su derivada temporal en $0$ ¿aquí? (editar: escribí este comentario en respuesta a su primer comentario, pero no creo que su segundo comentario responda la pregunta, así que lo dejaré así)
@Diffycue Creo que respondió a tu pregunta. tienes que asumir $\dot\eta=0$ en los puntos finales para obtener la respuesta correcta. Landau no hizo esto porque no estaba considerando un Lagrangiano que dependiera de $\ddot q$ . Además, la ecuación de Landau 8 explícitamente solo se cumple para un Lagrangiano que depende de $q,\dot q$ .
@Diffycue Cuando tienes un $\ddot{q}$ lagrangiano -dependiente, la ecuación de movimiento será en general de orden cuatro (en lugar de dos). Eso significa que en lugar de dos condiciones (las posiciones en los puntos finales) necesitamos cuatro. Podemos hacer esto fijando tanto la posición como la velocidad en los puntos finales, lo que significa que $\eta=\dot{\eta}=0$ allá
He publicado una respuesta que resume lo que he dicho aquí.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/109518/2451 , physics.stackexchange.com/q/119750/2451 , physics.stackexchange.com/q/169419/2451 y sus enlaces.

Coco · Answer 1

Tienes que imponer eso $\eta(t_0)=\eta(t_1)=\dot{\eta}(t_0)=\dot{\eta}(t_1)=0$ dónde $t_0$ y $t_1$ son los puntos finales del intervalo de tiempo sobre el que está integrando. Entonces, el último término es:

\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η) d t = {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η)]}_{t_{0}}^{t_{1}} = {[η \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})]}_{t_{0}}^{t_{1}} + {[\dot{η} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}]}_{t_{0}}^{t_{1}} = 0

$\begin{equation} \int_{t_0}^{t_1}\frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\eta\right)dt = \left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\eta\right)\right]_{t_0}^{t_1} = \left[\eta\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\right)\right]_{t_0}^{t_1}+ \left[\dot{\eta}\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\right]_{t_0}^{t_1} = 0 \end{equation}$ La ecuación de Euler-Lagrange es entonces:

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}) = 0

$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) + \frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) = 0 \end{equation}$ Como justificación de las condiciones sobre

η

$\eta$ y su derivada en los extremos observe que, en general,

\partial L / \partial \ddot{q}

$\partial L/\partial\ddot{q}$ puede depender de

\ddot{q}

$\ddot{q}$ , por lo que la ecuación de movimiento será de cuarto orden. Para obtener una solución, se necesitarán cuatro condiciones. En el caso de

L

$L$ dependiendo solo de

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot{q}$ , para una ecuación de segundo orden necesitábamos dos condiciones: fijar

q (t_{0})

$q(t_0)$ y

q (t_{1})

$q(t_1)$ . En el caso de cuarto orden, es razonable fijar

q (t_{0})

$q(t_0)$ ,

q (t_{1})

$q(t_1)$ ,

\dot{q} (t_{0})

$\dot{q}(t_0)$ y

\dot{q} (t_{1})

$\dot{q}(t_1)$ .

Por lo tanto, como $\delta q=\epsilon\eta$ y $\delta \dot{q}=\epsilon\dot{\eta}$ tenemos eso $\eta(t_0)=\eta(t_1)=\dot{\eta}(t_0)=\dot{\eta}(t_1)=0$ .

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