Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange a partir del principio de acción mínima

123hoedjevan te da una respuesta incorrecta. El principio de acción mínima establece que la configuración física del sistema de campos realiza un mínimo de la acción con respecto a las variaciones de los campos con soporte compacto que, por la definición misma de soporte compacto, debe desaparecer en el límite del soporte mismo. . Esto a su vez significa que, en la fórmula

$$\delta S=\int_{\Omega}d^{d}x\ \bigg[\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\bigg)\,\delta\phi\bigg]+\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)$$ ( $d=\dim \Omega$), $\Omega$debe ser compacto. Ahora, en cuanto al último término, obtenemos $$\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ \bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)$$ donde denoté por $d^{d-1}x_{\mu}$el elemento de volumen (orientado) de la frontera $\partial\Omega$. La identidad se deriva del teorema de Stoke, que (en una de sus muchas formas) establece que si tienes una función $f$definido en un conjunto compacto $\Omega$, entonces $$\int_{\Omega} d^{d}x\ \big(\partial_{\mu}\,f\big)=\int_{\partial\Omega} d^{d-1}x\ \big(f\ n_{\mu}\big)$$ dónde $\partial\Omega$es el límite de $\Omega$y $n_{\mu}$son las componentes del campo vectorial normales a $\partial \Omega$(Darse cuenta de $n_{\mu}\,d^{d-1}x$y mi definición de $d^{d-1}x_{\mu}$son lo mismo). La demostración del teorema se puede encontrar fácilmente en libros de texto estándar o en Internet. Volviendo a nuestra integral, como $\delta\phi$es por definición (es decir, como parte de las hipótesis del teorema) cero en el límite de $\Omega$, $$\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ \bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ 0=0$$ por lo tanto, como $\delta S=0$, $$\delta S=\int_{\Omega}d^{d}x\ \bigg[\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\bigg)\,\delta\phi\bigg]=0$$ y dado que esto debe ser válido para cualquier compacto $\Omega$y cualquier soporte compacto $\delta\phi$, $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}=0$$ La compacidad de $\Omega$(y, a su vez, el apoyo compacto de la variación de los campos) puede eliminarse de las hipótesis del teorema, siempre que la integral de acción esté bien definida en $\Omega$. Por otro lado, el hecho de que la variación debe desaparecer en el límite del dominio de integración no puede eliminarse de las hipótesis. Por lo tanto, el primero sigue siendo válido para vehículos no compactos. $\Omega$'s.

Al probar el teorema de Noether (que es diferente de probar la equivalencia entre la minimización y las ecuaciones de Euler-Lagrange, y en última instancia depende de esta misma prueba), se permiten variaciones que no desaparecen en el límite del dominio de integración; además, en su formulación habitual, el teorema de Noether permite variar las coordenadas del dominio de integración. Es en este contexto que surge la corriente de Noether como un campo sin divergencia, y la corriente de Noether se define como

$$j^{\mu}=-T^{\mu}_{\nu}\ \delta x^{\nu}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\,\partial_{\mu}\phi}\ \delta\phi$$ dónde $$T^{\mu}_{\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\,\partial_{\mu}\phi}\ \partial_{\nu}\phi-\mathcal{L}\ \delta^{\mu}_{\nu}$$ es el tensor canónico de energía-momento.

La verdadera respuesta es: en realidad no. O más bien: ¡todavía podemos extraer algo de física de él! Vamos a derivar

$$S[\phi] = \int d^d x \mathcal{L}[\phi,\partial\phi]\\ \delta S[\phi] = \int d^dx \delta \mathcal{L} = \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta (\partial_\mu\phi) \right)$$ primero usamos eso $\delta$y $\partial$conmutar y luego la regla de Leibniz para obtener $$= \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \partial_\mu(\delta \phi) \right)\\ = \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right) \delta \phi \right)\\ = \int d^dx \left( \underbrace{\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right) \right)}_\text{EoM = 0} \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) \right) = 0\\ $$ Así que nos quedamos con $$\delta S [\phi] = \int_{\mathbb{R}^n} d^d x \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = 0 \\ $$ Hay 2 maneras en que esto puede ser $0$.

• Primero vemos que por Stokes obtenemos la declaración GLOBAL

  $$\delta S [\phi] = \int d \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = \left.\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right|_{\partial \mathbb{R}^n} =0 \\ $$ donde generalmente asumimos que todos los campos desaparecen en$\partial \mathbb{R}^n$, es decir, en el infinito.

• Otra forma de conseguir$\delta S = 0$(y en cierto sentido una forma más física y matemáticamente rigurosa) es exigir la declaración LOCAL$\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = 0$. Esta es exactamente la demanda actual conservada:$\partial_\mu j^\mu = 0$. Entonces encontramos que

  $$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi$$ es la corriente conservada asociada con la variación$\delta\phi$.