Mi prueba: toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

Question

Mi prueba: toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

Matemáticas
análisis real
secuencias de cauchy
solución-verificación

Sonal_sqrt

Dejar $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ ser una secuencia real.

$\textbf{Definition 1.}$ $(x_n)$ es $\textit{convergent}$ si hay un $x\in\Bbb R$ tal que, por cada $\varepsilon\in\Bbb R$ con $\varepsilon>0$ , hay un $N\in\Bbb N$ tal que, por cada $n\in\Bbb N$ con $n>N$ , tenemos $|x_n-x|<\varepsilon$ .

$\textbf{Definition 2.}$ $(x_n)$ es un $\textit{Cauchy sequence}$ Si, por cada $\varepsilon \in\Bbb R$ con $\varepsilon > 0$ , hay un $N\in\Bbb N$ tal que, por cada $m,n\in\Bbb N$ con $m,n > N$ , tenemos $|x_m - x_n| < \varepsilon$ .

$\textbf{Theorem.}$ Si $(x_n)$ es convergente, entonces es una sucesión de Cauchy.

Prueba : Desde $(x_n)\to x$ tenemos lo siguiente para algunos $\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0$ existe $N_1, N_2 \in \Bbb N$ tal para todos $n_1>N_1$ y $n_2>N_2$ siguientes retenciones

| X_{{norte}_{1}} - X | < ε_{1} | X_{{norte}_{2}} - X | < ε_{2}

$|x_{n_1}-x|<\varepsilon_1\\ |x_{n_2}-x|<\varepsilon_2$ Entonces ambos se mantendrán para todos.

n_{1}, n_{2} > max (N_{1}, N_{2}) = N

$n_1, n_2 >\max(N_1, N_2)=N$ , decir

ε = max (ε_{1}, ε_{2})

$\varepsilon = \max(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$ entonces

| X_{{norte}_{1}} - X - (X_{{norte}_{2}} - X) | < ε ⟹ | X_{{norte}_{1}} - X_{{norte}_{2}} | < ε

$|x_{n_1}-x-(x_{n_2}-x)|<\varepsilon\\\implies |x_{n_1}-x_{n_2}|<\varepsilon$ Por tanto, todas las sucesiones convergentes son de Cauchy.

¿Es correcta esta prueba? También vi esta pregunta y copié parte del contenido (definición y teorema) de allí. https://math.stackexchange.com/q/1105255

sangre de pulga

No. La prueba tiene un error fatal. Ninguna de las definiciones dice que existe un épsilon que hace lo que usted quiere. Ambos dicen que TODOS los épsilons hacen lo que tú quieres. Así que ciertamente no puedes decir let epsilon = max. Debe definir epsilon primero .

Sonal_sqrt

Sí, eso lo veo ahora.

sangre de pulga

Tal vez fui demasiado duro. Su prueba tiene el defecto de que busca lo específico en lugar de comenzar con lo general. Pero la mecánica en su mayor parte es buena. Entonces, la prueba es recuperable si la vuelve a hacer.

Respuestas (2)

Mi prueba: toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

No. La prueba tiene un error fatal. Ninguna de las definiciones dice que existe un épsilon que hace lo que usted quiere. Ambos dicen que TODOS los épsilons hacen lo que tú quieres. Así que ciertamente no puedes decir let epsilon = max. Debe definir epsilon primero .
Tal vez fui demasiado duro. Su prueba tiene el defecto de que busca lo específico en lugar de comenzar con lo general. Pero la mecánica en su mayor parte es buena. Entonces, la prueba es recuperable si la vuelve a hacer.

dxiv · Answer 1

La idea es correcta, pero la ejecución pierde un par de puntos.

Entonces ambos se mantendrán para todos. $n_1, n_2 > max(N_1, N_2)=N$ , decir $\epsilon = max(\epsilon_1, \epsilon_2)$

Técnicamente $\,\epsilon\,$ es un hecho, no puedes elegirlo.

entonces $\quad|x_{n_1}-x-(x_{n_2}-x)|<\epsilon \quad\implies\quad |x_{n_1}-x_{n_2}|<\epsilon$

El RHS no se sigue de la premisa declarada de que $\,|x_{n_1}-x| \lt \epsilon_1\,$ y $\,|x_{n_2}-x| \lt \epsilon_2$ . En el mejor de los casos, de la desigualdad del triángulo:

| X_{{norte}_{1}} - X_{{norte}_{2}} | = | (X_{{norte}_{1}} - X) - (X_{{norte}_{2}} - X) | \leq | X_{{norte}_{1}} - X | + | X_{{norte}_{2}} - X | < ϵ_{1} + ϵ_{2}

$|x_{n_1} - x_{n_2}| = |(x_{n_1}-x)-(x_{n_2}-x)| \le |x_{n_1}-x| + |x_{n_2}-x| \lt \epsilon_1 + \epsilon_2$

Para arreglarlo, solo asuma $\,\epsilon\,$ se da, elige $\,\epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon / 2\,$ , luego proceda a lo largo de la misma línea.

Creo que vale la pena señalar que la implicación escrita sigue , pero la implicación implícita $| X_{{norte}_{1}} - X | < ϵ_{1} y | X_{{norte}_{2}} - X | < ϵ_{2} ⟹ | X_{{norte}_{1}} - X - (X_{{norte}_{2}} - X) | < ϵ$ $|x_{n_1} - x| < \epsilon_1 \text{ and } |x_{n_2} - x| < \epsilon_2 \implies |x_{n_1} - x - (x_{n_2} - x)| < \epsilon$ no es válido.
@TheoBendit, ¿puede explicar con un contraejemplo por qué esta implicación no es válida?
@TheoBendit Punto justo, gracias. Actualicé la respuesta para dejar eso claro.
@PiyushDivyanakar Sé que acabas de entenderlo, pero aquí está el contraejemplo que estaba a punto de publicar: Toma $\epsilon_1 = \epsilon_2 = 1$ (por eso $\epsilon = 1$ ), $x = 0$ , $x_{n_1} = 0.75$ , y $x_{n_2} = -0.75$ .
@PiyushDivyanakar O, si realmente quisieras molestar a alguien, podrías tomar $\epsilon_1 = \epsilon / \pi$ y $\epsilon_2 = (1 - 1/ \pi)\epsilon\,$ ;-) El punto es que no hay una elección única de $\epsilon_{1,2}$ en tales casos, pero por lo general optaría por lo que es más fácil y más obvio.

usuario284331 · Answer 2

No debe ser que para algunos $\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$ . Más bien, uno fija una arbitraria $\epsilon>0$ , y encontramos $N_{1},N_{2}$ tal que $|x_{n_{1}}-x|<\epsilon/2$ y $|x_{n_{2}}-x|<\epsilon/2$ para todos $n_{1}>N_{1}$ , $n_{2}>N_{2}$ .

Para todos $n_{1},n_{2}>\max(N_{1},N_{2})$ , entonces $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|=|x_{n_{1}}-x-(x_{n_{2}}-x)|\leq|x_{n_{1}}-x|+|x_{n_{2}}-x|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$ .

en realidad solo uno $N$ para cual $|x_{n}-x|<\epsilon/2$ , $n\geq N$ es suficiente.

Si no me equivoco, en realidad solo necesitas uno $N$ tal que $|x_n - x| < \varepsilon/2$ para todos $n > N$ , ¿bien? No hay necesidad de $N_1$ y $N_2$ y tomando el máximo.

Mi prueba: toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

Sonal_sqrt

sangre de pulga

Sonal_sqrt

sangre de pulga

Respuestas (2)

dxiv

Theo Bendit

Sonal_sqrt

dxiv

Sonal_sqrt

Theo Bendit

dxiv

Sonal_sqrt

usuario284331

Matías Klupsch

usuario284331

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

¿Una función continua asigna secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy?

Supongamos que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n es Cauchy y que la subsecuencia {xnk}k{xnk}k\{x_{n_k}\}_k converge a xxx. Demuestre que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n converge a xxx.

Demostrar que toda subsucesión de una sucesión real convergente converge en el mismo límite.

Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel

Prueba de que la clausura de un conjunto siempre contiene su supremo y un conjunto abierto no puede contener su supremo

¿Es esta una forma permisible de probar/mostrar esta declaración?

δδ\delta-response para desafiar el limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} con ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

Funciones continuas de NN\Bbb{N} a NN\Bbb{N} en la topología "co-pequeña"

¿Es x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolutamente continua?