¿Es x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolutamente continua?

me gustaria probar que X , X ∈ [ 0 , 1 ] es una función absolutamente continua . La forma en que he estado tratando de hacer eso es la siguiente:

∑ k = 1 norte ( y k − X k ) = ∑ k = 1 norte y k − X k y k + X k ≤ min k 1 y k + X k ∑ k = 1 norte ( y k − X k )

Y asumiendo que esto es correcto, la continuidad absoluta sigue tomando d = ϵ min k 1 y k + X k . ¿Puedes verificar que mi prueba es correcta? ¿Está bien que d depende de los intervalos?

Gracias.

@Bacon Mi prueba es mejor.
A pesar de sus buenos esfuerzos, la respuesta aceptada en el enlace, sin el uso de la teoría de la medida, es bastante buena... :-)
Curiosamente, su función no es Lipschitz ya que la derivada no está acotada en el dominio. Pero creo que sería Lipschitz si X ∈ [ ε , 1 ] para algunos ε > 0 . ¿Estarías de acuerdo Juan?

Respuestas (1)

¡¡¡Esto no es correcto!!! Tu has hecho d ¡depende de la elección de los intervalos, que es algo que no desea si observa su definición!

F es absolutamente continua en [ a , b ] si por alguna ϵ > 0 existe un d > 0 (dependiendo únicamente de ϵ y la funcion F ) tal que ∑ i = 1 norte | F ( b i ) − F ( a i ) | < ϵ para cualquier colección finita ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) , … , ( a norte , b norte ) de subintervalos disjuntos de [ a , b ] de longitud total ∑ i = 1 norte b i − a i a lo sumo d .

¿Es x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolutamente continua?
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