Supongamos que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n es Cauchy y que la subsecuencia {xnk}k{xnk}k\{x_{n_k}\}_k converge a xxx. Demuestre que {xn}n{xn}n\{x_n\}_n converge a xxx.

quiero mostrar eso$\{x_n\}_n$converge a$x$si$\{x_n\}_n$es Cauchy y la subsecuencia$\{x_{n_k}\}_k$converge a$x$.

Hice la prueba, pero quiero saber por qué puedo decir eso.$|x_n-x_{n_k}| < \frac{\epsilon}{2}$.

Intuitivamente, sé que la subsecuencia tiene que ser épsilon, cercana a los términos de la secuencia porque uno es solo un subconjunto del otro. Creo que se supone que debo usar el hecho de que la subsecuencia está aumentando, pero no estoy seguro de cómo obtengo$|x_n-x_{n_k}| < \frac{\epsilon}{2}$a partir de ese. Cualquier ayuda para entender ese paso sería muy apreciada.

Prueba:

Dado:$\{x_n\}_n$es Cauchy y la subsecuencia$\{x_{n_k}\}_k$converge a$x$.

De ello se deduce que para todo positivo$\epsilon$,$\exists N_1 \in \mathbb{N}^+, \forall k\in \mathbb{N}^+$tal que si$k\geq N_1$, entonces$|x_{n_k}-x| < \frac{\epsilon}{2}$

y para todo positivo$\epsilon$,$\exists N_2 \in \mathbb{N}^+, \forall i,j\in \mathbb{N}^+$tal que si$i,j\geq N_2$, entonces$|x_i-x_j| < \frac{\epsilon}{2}$

Entonces...

$|x_n-x| = |x_n-x_{n_k} + x_{n_k}-x| \leq |x_n-x_{n_k}| + |x_{n_k}-x| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Por lo tanto$\{x_n\}$converge a$x$.

¿Es esto correcto? No estoy seguro de tener una comprensión sólida de las subsecuencias.