Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

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Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

limites
Matemáticas
análisis real
secuencias de cauchy
solución-verificación
convergencia divergencia

usuario953078

Traté de probar esto, pero mi prueba no coincidía con la de mi libro. Entonces quiero verificar si mi prueba es correcta o no.

Teorema: Toda sucesión de Cauchy en $\mathbb R$ tiene un límite.

Supongamos lo contrario que hay una sucesión $(a_n)$ que es de Cauchy pero no convergente.

1. Dado que la sucesión no es convergente, para todos los reales $a$ , debe haber un $\epsilon$ tal que para todos $n \in \mathbb N$ , $\exists n_0 \geq n$ tal que $|a_{n_0}-a|\geq \epsilon$ .

2. Desde $(a_n)$ es Cauchy, podemos mostrar que ese particular $\epsilon$ hablamos arriba, hay un natural $N$ tal que para todos $n,m\geq N$ , $|a_n-a_m|<\epsilon$ .

3. Ve y mira $(1)$ . así puedo encontrar $m_0 \geq N$ tal que $|a_{m_0}-a| \geq \epsilon >|a_{m_0}-a_n|$ para todos $n \geq N$ . Ya que $a$ es arbitrario, poner $a=a_n$ ,obtenemos contradicción. Por lo tanto, la prueba.

Paramanand Singh

Su

ϵ

$\epsilon$ debería depender de

a

$a$ por lo que debe indicar "por cada

a \in R

$a\in\mathbb {R}$ existe un

ϵ > 0

$\epsilon >0$ correspondiente a ella tal que..."

Respuestas (2)

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

Su $\epsilon$ debería depender de $a$ por lo que debe indicar "por cada $a\in\mathbb {R}$ existe un $\epsilon >0$ correspondiente a ella tal que..."

Asistente · Answer 1

En el paso 1, estás arreglando $n_0$ que tiene la propiedad $|a_{n_0} - a| \geq \epsilon$ , pero en el paso 3, estás usando eso $|a_{m_0} - a| \geq \epsilon$ para tu $m$ lo suficientemente grande.

No puedes arreglar primero $n_0$ y luego reemplazarlo. Eso ya es asumiendo que tu secuencia $a_n$ converge a $a$ , que es lo que estás tratando de probar.

El argumento estándar construye (utilizando Bolzano-Weierstrass) una subsecuencia convergente de $a_n$ . Entonces se puede demostrar que cualquier sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente es convergente.

Una forma más rápida de ver que su argumento no funciona es la siguiente: no se basa en la "completitud" de $\mathbb{R}$ . Aprenderá que, en entornos más generales, las sucesiones convergentes siempre son de Cauchy, pero no todas las sucesiones de Cauchy convergen. Para esto, realmente necesita la integridad (que se usa en la prueba de Bolzano Weierstrass).

Agregaría a su párrafo final: el teorema es falso en $\mathbb{Q}$ , pero a ninguna línea de la prueba le importa si estamos en $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ , por lo que la prueba debe ser incorrecta.
Estoy de acuerdo en que mi prueba es incorrecta. Pero la parte del argumento que usted ha dicho que es incorrecta es correcta. Supongo que hay un error en otra parte de mi respuesta.
Esa parte es correcta ya que todo lo que hice fue elegir $N$ como $n$ de (1). No hay nada de malo en eso.
Traté de encontrar la falla y estoy escribiendo una respuesta a esto. Por favor, hágamelo saber si mi respuesta es correcta.

usuario953078 · Answer 2

De otras respuestas, me volví completamente seguro de que mi prueba debe ser incorrecta porque si imito mi prueba para una secuencia de Cauchy en $\mathbb Q$ , se obtendría el mismo resultado. Pero aquí está lo que salió mal en mi prueba:
afirmé reemplazar $a_n$ en mi prueba en (3) y luego, traté de obtener una contradicción. Pero para reemplazar un particular $a_n$ , primero debo saber $N$ en la prueba anterior.
Tenga en cuenta que $\epsilon$ depende de $a$ , el número real. Ahora, cuando elijo $a=a_n$ en mi prueba, entiendo que debe dar un particular $\epsilon$ que a su vez crearía un nuevo valor de $N$ y no puedo asegurar que el valor de $a_n$ he escogido es tal que $n \geq N$ .

Sí, esto es localizar correctamente el error. Para decirlo de otra manera: en el paso (2), dices "... para ese ε en particular", y posteriormente trabajas con ese ε en particular. Pero antes de que puedas fijar un ε específico, tendrías que decir "Fix some a ..."; solo entonces puedes tomar algún ε que tenga la propiedad de (1) con respecto a tu a dado .

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

usuario953078

Paramanand Singh

Respuestas (2)

Asistente

Patricio Stevens

usuario953078

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usuario953078

usuario953078

Peter Le Fanu Lumsdaine

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δδ\delta-response para desafiar el limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} con ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

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