δδ\delta-response para desafiar el limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} con ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Estoy estudiando Real Analysis de Stephen Abbott Understanding Analysis. Me gustaría preguntar si mis conclusiones relacionadas con el ejercicio (a), (b) del siguiente problema son correctas.

Notación.$f(x)= [[x]]$es la función de caja, el mayor entero menor o igual que$x$, para todos$x \in \mathbf{R}$.

Ejercicio 4.2.4. Considere la afirmación razonable pero errónea de que

$$\begin{align*} \lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac{1}{10} \end{align*}$$

(a) Encuentre el mayor$\delta$que representa una respuesta adecuada al desafío de$\epsilon = 1/2$.

(b) Encuentre el mayor$\delta$que representa una respuesta adecuada a$\epsilon = 1/50$.

(c) Encuentre el mayor$\epsilon$reto para el que no hay adecuado$\delta$respuesta posible.

Prueba.

(a) Requerimos

$$\begin{align*} \frac{1}{10} - \frac{1}{2} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \\ \frac{-4}{10} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{6}{10} \end{align*}$$

Entonces,$[[x]] < \frac{-10}{4} < -2$y$[[x]]>\frac{10}{6} > 1$. En otras palabras,$x-10 < -12$y$x-10>-8$. La distancia absoluta debe satisfacer la desigualdad.$\absval{x - 10} < 8$. Así, la mayor$\delta-$respuesta al reto$\epsilon=1/2$parece ser$\delta = 8$.

(b) Requerimos

$$\begin{align*} \frac{1}{10} - \frac{1}{50} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{1}{10} + \frac{1}{50} \\ \frac{4}{50} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{6}{50} \end{align*}$$

Entonces,$[[x]] < \frac{50}{4} < 13$y$[[x]]>\frac{50}{6} > 8$. En otras palabras,$x < 13$o$x >9$. La distancia absoluta debe satisfacer la desigualdad.$\absval{x - 10} < 1$. Así, la mayor$\delta-$respuesta al reto$\epsilon=1/50$parece ser$\delta = 1$.

(c) Nos gustaría tener la distancia

$$\begin{align*} \absval{\frac{1}{[[x]]} - \frac{1}{10}} > \epsilon \end{align*}$$

no importa cuál sea el intervalo abierto$(10-\delta,10+\delta)$en el cual$x$mentiras. Reordenando, obtengo:

$$\begin{align*} \epsilon < \frac{\absval{[[x]] - 10}}{10 \absval{[[x]]}} \end{align*}$$

No estoy seguro de cómo proceder desde aquí. Yo sé eso,$\absval{[[x]] - 10}$. que rinde,

$$\begin{align*} \epsilon < \frac{\delta}{10 \absval{[[x]]}} \end{align*}$$

Puedo escribir más,$[[x]] > \lceil{10 - \delta}\rceil$. Pero esto$\epsilon$depende de la$\delta$-intervalo que yo elija.