¿Una función continua asigna secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy?

Question

¿Una función continua asigna secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy?

continuidad
Matemáticas
análisis real
secuencias de cauchy
continuidad uniforme
solución-verificación

Quásar

Estoy autoaprendiendo Real Analysis del texto Understanding Analysis de Stephen Abbott. Me gustaría que alguien verifique si mis pruebas/contraejemplos del siguiente ejercicio son rigurosos y correctos.

[Abbott, 4.4.6] Dé un ejemplo de cada uno de los siguientes, o indique que tal solicitud es imposible. Para cualquiera que sea imposible, proporcione una breve explicación de por qué este es el caso.

(a) Una función continua $\displaystyle f:( 0,1)\rightarrow \mathbf{R}$ y una secuencia de Cauchy $\displaystyle ( x_{n})$ tal que $\displaystyle f( x_{n})$ no es una sucesión de Cauchy.

(b) Una función uniformemente continua $\displaystyle f:( 0,1)\rightarrow \mathbf{R}$ y una secuencia de Cauchy $\displaystyle ( x_{n})$ tal que $\displaystyle f( x_{n})$ no es Cauchy.

(c) Una función continua $\displaystyle f:[ 0,\infty )\rightarrow \mathbf{R}$ y una secuencia de Cauchy $\displaystyle ( x_{n})$ tal que $\displaystyle f( x_{n})$ no es una sucesión de Cauchy.

Prueba.

(a) Considere $\displaystyle f( x) =\frac{1}{x}$ definida y continua en $\displaystyle ( 0,1)$ .

Dejar $\displaystyle ( x_{n}) =\frac{1}{n}$ Sea una sucesión de Cauchy en $\displaystyle ( 0,1)$ , dónde $\displaystyle ( x_{n})\rightarrow 0$ .

$\displaystyle f( x_{n})$ es una sucesión ilimitada, por lo que no es Cauchy.

(b) Esta solicitud es imposible.

Suponer $\displaystyle ( x_{n})$ es una sucesión de Cauchy en $\displaystyle ( 0,1)$ . Entonces, para todos $\displaystyle \delta >0$ , existe $\displaystyle N\in \mathbf{N}$ , $\displaystyle | x_{n} -x_{m}| < \delta$ para todos $\displaystyle n >m\geq N$ .

Desde $\displaystyle f$ es uniformemente continua, para todo $\displaystyle \epsilon >0$ , existe $\displaystyle \delta >0$ , tal que para todos los puntos $\displaystyle x,y$ satisfactorio $\displaystyle | x-y| < \delta$ , tenemos $\displaystyle | f( x) -f( y)| < \epsilon$ .

En consecuencia, para todos $\displaystyle \epsilon >0$ , existe $\displaystyle N\in \mathbf{N}$ , tal que $\displaystyle | f( x_{n}) -f( x_{m})| < \epsilon$ para todos $\displaystyle n >m\geq N$ .

Entonces, $\displaystyle f( x_{n})$ es Cauchy.

(c) Esta solicitud es imposible.

$\displaystyle [ 0,\infty )$ es un conjunto cerrado. Para todas las secuencias de Cauchy $\displaystyle ( x_{n}) \subseteq [ 0,\infty )$ tal que $\displaystyle ( x_{n})\rightarrow c$ , la secuencia de imágenes $\displaystyle f( x_{n})\rightarrow f( c)$ . Entonces, $\displaystyle f( x_{n})$ es Cauchy.

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entonces cual es la regla: cont

f : A \to R

$f: A \to \mathbb R$ asigna cauchy a cauchy si (

f

$f$ es uniforme cont y

A

$A$ está abierto)-o-(si

A

$A$ está cerrado)?

Respuestas (2)

¿Una función continua asigna secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy?

entonces cual es la regla: cont $f: A \to \mathbb R$ asigna cauchy a cauchy si ( $f$ es uniforme cont y $A$ está abierto)-o-(si $A$ está cerrado)?

jose carlos santos · Answer 1

Tus respuestas son correctas. Sin embargo, la justificación de la tercera respuesta no está bien escrita. Yo lo pondría de la siguiente manera:

Si $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de Cauchy de elementos de $[0,\infty)$ , entonces converge a alguna $c\in\Bbb R$ y desde $[0,\infty)$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb R$ , $c\in[0,\infty)$ . Entonces, desde $f$ es continuo, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(c)$ y el hecho de que $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\in\Bbb N}$ converge implica que es una sucesión de Cauchy.

Otra posibilidad consiste en decir que si $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ es una sucesión de Cauchy, entonces está acotada. Entonces, para algunos $M\in[0,\infty)$ , $(\forall n\in\Bbb N):x_n\in[0,M]$ . Pero la restricción de $f$ a $[0,M]$ es uniformemente continua, y las funciones uniformemente continuas mapean secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy.

entonces cual es la regla: cont $f: A \to \mathbb R$ asigna cauchy a cauchy si ( $f$ es uniforme cont y $A$ está abierto)-o-(si $A$ está cerrado)?
Todo mapa uniformemente continuo de un subconjunto $A$ de $\Bbb R$ en $\Bbb R$ mapea la secuencia de Cauchy en secuencias de Cauchy.
@BCLC No. Te acabo de decir que si $f$ es uniformemente continua, entonces no se debe agregar ninguna otra condición.
no es una condición añadida... es una condición diferente...? estoy preguntando sobre $A$ esta cerrado pero $f$ no es necesariamente uniformemente continuo...? la espera es continua $f$ en un conjunto cerrado necesariamente uniformemente continuo?
@BCLC Sí, cada función continua de un intervalo $[a,b]$ en $\Bbb R$ es uniformemente continua.
José Carlos Santos ah maldito desliz freudiano jejeje. Sabía lo del intervalo, pero quería preguntar sobre el conjunto cerrado. comentario editado. es continua $f$ en conjunto cerrado pero no necesariamente intervalo cerrado necesariamente uniformemente continuo? creo que continuo en cerrado pero ilimitado no es necesariamente uniforme iirc. por lo tanto, quiero saber ahora si la conservación de Cauchy está implicada en un control no uniforme, pero $A$ está cerrado
@BCLC Si $A$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb R$ y $f\colon A\longrightarrow\Bbb R$ es continuo, entonces $f$ bien puede no ser uniformemente continuo (tomar, por ejemplo, $A=\Bbb R$ y $f(x)=x$ ), pero aún mapea secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy. Porque si $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ es una sucesión de Cauchy, entonces converge a alguna $x$ y desde $A$ está cerrado, $x\in A$ . Y ahora la continuidad de $f$ implica que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ . y la secuencia $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\in\Bbb N}$ es una sucesión de Cauchy, ya que converge.

Martín Argerami · Answer 2

La escritura en b podría mejorarse un poco. quieres empezar con $\epsilon$ , usa la continuidad uniforme para obtener $\delta$ , y luego use que la secuencia es Cauchy para obtener $N$ para ese particular $\delta$ . La necesidad de esto es más fácil de ver cuando te das cuenta de que $N$ depende de $\delta$ y $\delta$ depende de $\epsilon$ .

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Martín Argerami

¿Es correcta mi prueba para la composición de funciones uniformemente continuas?

Un intento de demostrar que "la función continua en un intervalo cerrado (I) es uniformemente continua"

Demuestra que la función f(x)=sin(x2) f(x)=sin⁡(x2)\ f(x)=\sin(x^2) no es uniformemente continua en el dominio RR\mathbb{R}.

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?

¿Es x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolutamente continua?

Mi prueba: toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

¿Fallará la siguiente prueba de que una función continua fff de un espacio compacto X→YX→YX\rightarrow Y es uniformemente continua?

Función inversa f−1:f(R)→Rf−1:f(R)→Rf^{-1}:f(\mathbb{R})\to\mathbb{R} de una función estrictamente creciente f:R →Rf:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} es continua

Demostrar que el supremo de una sucesión de funciones continuas es continuo

Caracterización topológica de la Continuidad