Método de imágenes para intersección de dos planos.

La teoría electromagnética clásica de Vanderlinde analiza el método de las imágenes, con ejemplos dados para la intersección de (medios) planos conductores infinitos. En particular, se menciona el efecto "caleidoscopio" de alternancia de cargas de imagen para planos que se cruzan a 90° y 60°.

También se invita al lector a reflexionar (ho ho) sobre lo que sucede cuando el ángulo de intersección es de 72°. La discusión parece sugerirme que, en este caso, las cargas alternas de los puntos de la imagen terminarían anulándose entre sí, dando lugar a un campo constante. Si es así, eso parecería implicar que en el problema original, las distribuciones de carga en los planos conductores conspirarían para cancelar el campo entre ellos.

Sin embargo, no estoy del todo seguro de que esto sea correcto, y no he podido encontrar una fuente alternativa para verificar/invalidar este presentimiento. ¿Estoy cerca del camino correcto?

Editar: Disculpas por detalles incompletos. Del texto, que trata sobre el método de imágenes para cargas puntuales y planos:

Una carga colocada cerca de la esquina de dos placas que se cruzan tiene imágenes no solo detrás de cada uno de los planos conductores, sino que cada una de las imágenes a su vez tiene una imagen en los otros planos y así sucesivamente, muy parecido a una imagen óptica. Por lo tanto, cuando dos placas se encuentran en ángulo recto, "aparece" una imagen cargada negativamente detrás de cada placa, y una imagen positiva se encuentra en diagonal a través del punto de intersección. No es difícil ver que este arreglo de hecho conduce a superficies equipotenciales a lo largo de los planos definidos por los conductores. Cuando los planos se intersecan a 60°, se requerirán cinco imágenes de signo alterno (el caleidoscopio es el análogo óptico de este arreglo). Claramente, cuando el ángulo no es proporcional a 360◦, este método no funcionará porque se requeriría una cantidad infinita de imágenes.

Había asumido erróneamente que el caso que se estaba discutiendo involucraba cargas colocadas simétricamente, de modo que seguir el proceso de la imagen de manera ingenua conduciría a la coincidencia de imágenes positivas y negativas.

Respuestas (1)

El problema con el método de las imágenes cuando el ángulo de intersección es una fracción impar de una revolución es que requiere agregar cargas de imagen adicionales dentro del dominio a resolver, lo que puede generar singularidades no físicas en la solución resultante.

A modo de comparación, así es como funciona el método de las imágenes con dos semiplanos en un ángulo de 60°, con un poco de desplazamiento artificial agregado para mostrar cómo las cargas de la imagen regresan entre sí, de modo que solo necesita seis cargas en total:

Ahora considere el caso donde los planos tienen un ángulo de 72°:

Tenga en cuenta que el signo de las cargas de la imagen es estable, pero debe agregar una carga de la imagen, de signo opuesto al punto inicial, que está dentro del sector que está resolviendo. Eso le dice que el método de las imágenes puede ayudarlo a resolver situaciones en las que comienza con dos cargas de signo opuesto colocadas simétricamente (o, de manera equivalente, con un ángulo de sector de 36 °), pero si no lo hace, entonces el método introducirá una singularidad en una región que sí le interesa (a diferencia del caso de particiones pares, donde agrega un montón de singularidades en regiones que no son de su interés).

Esto también explica lo que probablemente salió mal con su cálculo: con este tipo de procedimientos, es muy tentador tomar el cargo inicial en el centro del sector, pero eso generalmente debe evitarse: en este caso, por ejemplo, la imagen no deseada. el cargo se superpone con su cargo inicial si este último está en el medio del sector, pero ese no es el comportamiento genérico. En cambio, normalmente es una buena práctica comenzar con una configuración no simétrica para que pueda tener una mejor idea de lo que sucede con las entradas genéricas.

Esto fue exactamente lo que pensé que debería ser la respuesta cuando la dibujé, pero realmente no pude demostrarlo matemáticamente. ¿Ocurriría esto independientemente de la distancia a la que se colocara la carga desde el punto de intersección?
Sí, el problema es de escala invariable, por lo que esto sucederá independientemente de la distancia entre la carga y el vértice, pero ten en cuenta que el comportamiento cambiará si colocas la carga inicial en el medio del sector.
Esta podría ser una pregunta realmente ingenua, pero ¿es solo porque el electromagnetismo clásico es invariante de escala?
Ah, me había preguntado acerca de las imágenes en la región de interés. ¿Sería correcto, entonces, decir que tal característica invalida efectivamente el método de imágenes como una estrategia para resolver problemas en esta configuración, porque conduce a un comportamiento no físico, mientras que otras estrategias pueden producir resultados correctos?
Sí, eso es precisamente correcto. Si desea una solución analítica para ángulos de sector que no sean π / norte , no puedo pensar en nada que funcione más que expandir la función de Green en términos de funciones de Bessel de orden fraccionario.
@BobArthur Hmmmm, parece que estaba equivocado, y la función de Green no se expande en las funciones de Bessel (siempre que uno permanezca en 2D), sino en poderes más simples. Vea esta pregunta para más detalles.
Método de imágenes para intersección de dos planos.
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