Una carga eléctrica puntual en un sector angular: ¿la expansión de la función de Green se simplifica al método de las imágenes si el ángulo es recto?

Question

Una carga eléctrica puntual en un sector angular: ¿la expansión de la función de Green se simplifica al método de las imágenes si el ángulo es recto?

Física
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Emilio Pisanty

Suponga que está haciendo electrostática en dos dimensiones (o, de manera equivalente, en 3D con invariancia de traducción a lo largo de $z$ ) y estás estudiando la respuesta a una carga puntual en un sector angular del ángulo de apertura $\alpha$ , es decir, en el dominio

D = {(r porque (θ), r pecado (θ)) \in R^{2} : 0 < θ < α},

$\mathcal D=\{(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\in\mathbb R^2:0<\theta<\alpha\},$ bajo condiciones de contorno de Dirichlet, es decir, entre dos planos conductores en ángulo diedro

α

$\alpha$ .

Ahora, si realmente se enfrenta a un problema de este tipo, la respuesta natural es decir "ah, sí, probablemente pueda obtener la función de Green del problema en términos de alguna expansión en términos de funciones de Bessel de orden fraccionario algo algo algo ", y nadie puede recordar realmente los detalles, pero afortunadamente tenemos la electrodinámica clásica de Jackson , que nos informa en §2.11 y en el problema 2.25 que la función de Green para el problema es

\begin{aligned} (1) & GRAMO (r, r^{'}) = 4 \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} \frac{r_{<}^{norte π / α}}{r_{>}^{norte π / α}} pecado (\frac{norte π}{α} θ) pecado (\frac{norte π}{α} θ^{'}), \end{aligned}

$\begin{align} G(\mathbf r,\mathbf r') = 4 \sum_{n=1}^\infty \frac1n \frac{r_<^{n\pi/\alpha}}{r_>^{n\pi/\alpha}} \sin\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta \right)\sin\left(\frac{n\pi}{\alpha}\theta' \right), \tag 1 \end{align}$ satisfactorio

\nabla_{r}^{2} G (r, r^{'}) = δ (r - r^{'})

$\nabla^2_\mathbf r G(\mathbf r,\mathbf r') = \delta(\mathbf r-\mathbf r')$ (hasta signos y factores de

π

$\pi$ ), donde la naturaleza de número real arbitrario del ángulo de esquina

α

$\alpha$ se manifiesta en las potencias no enteras de los radios involucrados en la expansión.

Por otro lado, para algunos ángulos especiales $\alpha$ de la forma $\alpha = \pi/k$ , dónde $k$ es un número entero, uno puede deshacerse de todo eso y simplemente usar el método de cargas de imagen , plantando juiciosamente copias de nuestra fuente de carga en ángulos entre $\alpha$ y $2\pi$ de tal manera que el potencial se desvanece en el límite de $\partial \mathcal D$ como debe ser, dándonos la función de Green en la forma

\begin{matrix} (2) & GRAMO (r, r^{'}) = \sum_{i} q_{i} en (‖ r - r_{i} ‖) \end{matrix}

$G(\mathbf r,\mathbf r') =\sum_{i}q_i\ln(\|\mathbf r- \mathbf r_i\|) \tag 2$ donde uno de los

r_{i}

$\mathbf r_i$ es

r^{'}

$\mathbf r'$ y el resto son cargos de imagen.

Bien, después de toda esa configuración, esta es mi pregunta: ¿es posible reducir directamente el resultado general en $(1)$ al método de las imágenes dan como resultado $(2)$ por algún medio u otro? Intuitivamente, parece que ese debería ser el caso (aunque no hay promesas de que sería bonito), porque $(1)$ contiene toda la información sobre la solución del problema y debería ser posible reducirlo a versiones más simples donde existan; más prosaicamente, cuando $\alpha=\pi/k$ esos exponentes ahora leen $r^{n\pi/\alpha} = r^{nk}$ , que parece bastante más manejable.

En este sentido, Jackson agrega una tachuela a ese problema 2.25, diciendo

(b) Por medio de técnicas de variables complejas u otros medios, demuestre que la serie se puede sumar para dar una forma cerrada,
$GRAMO (r, r^{'}) = en [\frac{r^{2 π / α} + r^{' 2 π / α} - 2 (r r^{'})^{π / α} porque (π (θ + θ^{'}) / α)}{r^{2 π / α} + r^{' 2 π / α} - 2 (r r^{'})^{π / α} porque (π (θ - θ^{'}) / α)}],$ $G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \ln\left[\frac{ r^{2\pi/\alpha}+r'^{2\pi/\alpha}-2(rr')^{\pi/\alpha}\cos(\pi(\theta+\theta')/\alpha) }{ r^{2\pi/\alpha}+r'^{2\pi/\alpha}-2(rr')^{\pi/\alpha}\cos(\pi(\theta-\theta')/\alpha) }\right],$

lo que parece un paso en la dirección correcta, pero (i) no puedo ver completamente cómo sumarías esa serie y, lo que es más importante, (ii) no estoy completamente seguro de cómo reducirías esa serie simplificada a la solución de método de imágenes.

Entonces: ¿es esto posible? y si es así, ¿cómo? Además, un poco más ambicioso: ¿sigue siendo válido en 3D, donde la función de Green sube a las expansiones de Bessel pero el método de las imágenes sigue funcionando?

Respuestas (2)

Una carga eléctrica puntual en un sector angular: ¿la expansión de la función de Green se simplifica al método de las imágenes si el ángulo es recto?

Michael Seifert · Answer 1

Para la pregunta (i), tenga en cuenta que

pecado (\frac{norte π}{α} θ) pecado (\frac{norte π}{α} θ^{'}) = \frac{1}{2} [porque (\frac{norte π}{α} (θ - θ^{'})) - porque (\frac{norte π}{α} (θ + θ^{'}))] = \frac{1}{2} ℜ [{mi}^{norte π i (θ - θ^{'}) / α} - {mi}^{norte π i (θ + θ^{'}) / α}]

$\sin \left( \frac{n \pi}{\alpha} \theta \right) \sin \left( \frac{n \pi}{\alpha} \theta' \right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left(\frac{n \pi}{\alpha} (\theta - \theta') \right) - \cos \left(\frac{n \pi}{\alpha} (\theta + \theta') \right)\right] \\ = \frac{1}{2} \Re \left[ e^{n \pi i (\theta - \theta')/\alpha} - e^{n \pi i (\theta + \theta')/\alpha} \right]$ y entonces

GRAMO (r, r^{'}) = 2 ℜ {\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} [{(\frac{r_{<}}{r_{>}} {mi}^{i (θ - θ^{'})})}^{norte π / α} - {(\frac{r_{<}}{r_{>}} {mi}^{i (θ + θ^{'})})}^{norte π / α}]}

$G(\mathbf r,\mathbf r') = 2 \Re \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1n \left[\left(\frac{r_<}{r_>} e^{i (\theta - \theta')}\right)^{n\pi/\alpha} - \left(\frac{r_<}{r_>} e^{i (\theta + \theta')}\right)^{n\pi/\alpha} \right]\right\}$ Ahora se puede ver que la suma es equivalente a dos series de potencias para logaritmos naturales, ya que

en (1 - z) = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} z^{norte} .

$\ln(1 - z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} z^n.$ Después de mucha álgebra (en la que no entraré aquí, ya que esto califica como una "pregunta de tarea"), esto debería reducirse a la forma dada en el ejercicio de Jackson.

Pensaré un poco más sobre la Pregunta (ii) y veré si se me ocurre algo. Probablemente valga la pena señalar que si el cargo original $q$ esta en coordenadas $(r', \theta')$ , entonces las posiciones angulares de las cargas imagen en el problema correspondiente son $\theta', \theta' + 2\alpha, \theta' + 4 \alpha, ... \theta' + 2(k-1)\alpha$ para las cargas positivas y $-\theta', -(\theta' + 2\alpha), -(\theta' + 4 \alpha), ... -(\theta' + 2(k-1)\alpha)$ por las cargas negativas. Esto significa que (2) se puede escribir como

GRAMO (r, r^{'}) = \frac{1}{2} q \sum_{norte = 0}^{k - 1} en [\frac{r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} porque (θ - (θ^{'} + norte α))}{r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} porque (θ + (θ^{'} + norte α))}],

$G(\mathbf r,\mathbf r') = \frac{1}{2} q \sum_{n=0}^{k-1} \ln \left[ \frac{r^2 + (r')^2 - 2 r r' \cos( \theta - (\theta' + n \alpha)) }{r^2 + (r')^2 - 2 r r' \cos( \theta + (\theta' + n \alpha))}\right],$ lo que parece un paso en la dirección correcta, pero todavía no me queda claro cómo pasar de esta ecuación a la forma escrita en el ejercicio de Jackson.

Sí, eso es probablemente suficiente en términos de interponerse entre las dos formas en Jackson, y el trabajo de regreso del resultado del método de imágenes está en la dirección correcta, pero aún hay más puentes que construir allí.

Juan Donne · Answer 2

La respuesta de Michael Seifert es básicamente correcta, y solo completaré algunos pasos que faltan en la respuesta a la Pregunta (ii).

En términos de la función de Green de Jackson, el potencial debido a la carga es:

V (r, r^{'}) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} {GRAMO}_{j a C k s o norte} (r, r^{'})

$V(\mathbf r, \mathbf r') = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}G_{Jackson}(\mathbf r, \mathbf r')$ Para obtener el mismo resultado utilizando el método de las imágenes, la expresión de la función de Green debe normalizarse adecuadamente. La carga original es en realidad una carga de línea (en 3D), y también lo serán las cargas de imagen. Por tanto, el potencial es la suma de los potenciales de las cargas lineales:

V (r, r^{'}) = - \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \sum_{i} q_{i} en (‖ r - r_{i} ‖)

$V(\textbf r, \textbf r')=-\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\sum_{i}q_i\ln(\|\mathbf r- \mathbf r_i\|)$ Organizar las cargas de imagen como sugiere Michael Seifert, es decir, colocar cargas positivas en los lugares

θ^{'} + 2 n α

$\theta'+2n\alpha$ y cargas negativas en

- (θ^{'} + 2 n α)

$-(\theta'+2n\alpha)$ para

n = 0, \dots, k - 1

$n = 0, \ldots, k-1$ obtenemos la siguiente expresión:

V (r, r^{'}) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} \sum_{norte = 0}^{k - 1} en [\frac{r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} porque (θ + θ^{'} + 2 norte α)}{r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} porque (θ - θ^{'} - 2 norte α)}]

$V(\mathbf r,\mathbf r') = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{n=0}^{k-1} \ln \left[ \frac{r^2 + (r')^2 - 2 r r' \cos( \theta + \theta' + 2n \alpha)}{r^2 + (r')^2 - 2 r r' \cos( \theta - \theta' - 2n \alpha) }\right]$ Este difiere del obtenido en la otra respuesta porque la normalización es diferente, se han intercambiado numerador y denominador en el logaritmo, y tenemos

2 n α

$2n\alpha$ en lugar de

n α

$n\alpha$ en el argumento del coseno (que probablemente fue solo un error tipográfico).

Llegados a este punto, para demostrar que la expresión de Jackson y la obtenida con el método de las cargas de imagen concuerdan, basta demostrar que:

\begin{matrix} (*) & \prod_{norte = 0}^{k - 1} [z^{2} + 1 - 2 z porque (β + 2 norte π / k)] = [z^{2 k} + 1 - 2 z^{k} porque (k β)] \end{matrix}

$\prod_{n=0}^{k-1} \left[z^2 + 1 - 2 z \cos( \beta + 2n \pi/k)\right]=\left[z^{2k} + 1 - 2 z^k \cos(k\beta)\right]\tag{*}$ donde hemos tomado

z = r / r^{'}

$z=r/r'$ y

β = θ + θ^{'}

$\beta = \theta +\theta'$ . La misma prueba también funciona para el denominador.

Dejar $u = z e^{i\beta}$ y $v_n = e^{2in\pi/k}$ . Entonces podemos escribir el lado izquierdo de ( $*$ ) como:

\prod_{norte = 0}^{k - 1} | tu - v_{norte} |^{2} = {| \prod_{norte = 0}^{k - 1} (tu - v_{norte}) |}^{2} = {| {tu}^{k} - 1 |}^{2}

$\prod_{n=0}^{k-1} |u-v_n|^2=\left| \prod_{n=0}^{k-1} (u-v_n) \right|^2=\left| u^k-1 \right|^2$ que es la expresión del lado derecho de (

*

$*$ ). La segunda igualdad se sigue porque la

v_{n}

$v_n$ son los

k^{t h}

$k^{\mathrm{th}}$ raíces de la unidad, por lo que el polinomio en

u

$u$ es ciclotómico.

Una carga eléctrica puntual en un sector angular: ¿la expansión de la función de Green se simplifica al método de las imágenes si el ángulo es recto?

Emilio Pisanty

Respuestas (2)

Michael Seifert

Emilio Pisanty

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