Comprender la integral para el momento dipolar eléctrico de una distribución de carga

¡Recuerde que el momento dipolar es una cantidad vectorial! La definición del momento dipolar eléctrico es:

$$\mathbf p = \int_{\Bbb R^3}\mathbf x \rho(\mathbf x) d^3\mathbf x$$ Ahora enchúfelo $\mathbf x =\rho\ \hat\rho+z\hat k$y usar coordenadas cilíndricas. $$\mathbf p =\int_{\Bbb R^3} \rho \, \hat \rho \; \rho(\mathbf x) d^3\mathbf x + \hat k\int_{\Bbb R^3} z \rho(\mathbf x) d^3\mathbf x$$ Dado que la densidad de carga volumétrica es independiente de $\phi$(simetría azimutal), $\rho(\mathbf x) = \mathcal p(z,\rho)$, dónde $\mathcal p$es alguna función arbitraria, y la primera integral se anula: $$\int_{\Bbb R^3} \rho \, \hat \rho \; \rho(\mathbf x) d^3\mathbf x =\int_{0}^{2\pi} d\phi(\cos\phi \hat i+\sin\phi \hat j) \int_z\int_\rho dz \ d\rho \ \rho \; \mathcal p(z,\rho) =0$$ Por lo tanto, solo queda la integral en z, que es la que está usando Griffiths: $$\mathbf p =\hat k\int_{\Bbb R^3} z \rho(\mathbf x) d^3\mathbf x=\hat k\int_0^{2 \pi}d\phi \ [ \ \rho_0\int_0^{\pi/2} \int_0^R dr d\theta\ r^2 \sin\theta \ (r \cos\theta) \ -\rho_0\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \int_0^R dr d\theta\ r^2 \sin\theta \ (r \cos\theta) \ ]$$ Esto da: $$\mathbf p = 2 \pi \rho_0\hat k \ (\frac 14 R^4)(\int_0^{\pi/2} [ \ (\frac12)\sin(2\theta)\ d\theta -\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (\frac12)\sin(2\theta)\ d\theta \ ]$$ $$\mathbf p = 2 \pi \rho_0\hat k \ (\frac 14 R^4)(\frac12 - 0)$$ Finalmente: $$\mathbf p = \frac \pi 4 \rho_0 R^4\hat k$$