Método de cargas imagen para una carga puntual y un plano conductor no puesto a tierra

El problema se aborda en Electrodinámica Fulvio Melia Ejemplo 2.1 página 39, utilizando técnicas de función de Green. Sin embargo, no puedo entender completamente su solución final. Definamos el plano mantenido a potencial constante$V_0$ser el$z$-$y$avión. La carga$q$está a la distancia$a$, es decir en$(a,0,0)$. El potencial a grandes distancias es cero. La solución (ecuación 2.54) es

El primer término es la solución habitual del método de imagen, para el caso en que el plano conductor está conectado a tierra, a saber

que da cero cuando$x=0$. En otras palabras, esta es la solución de la ecuación de Poisson, pero las condiciones de contorno no son las requeridas.

El segundo término,$V_0 f(x,y,z)$es la solución de la ecuación de Laplace, y$f(x,y,z)$es$V_0$independiente.

De acuerdo con el libro de texto Eq. (2.54) allí

Las integrales sobre las variables primadas se extienden desde menos infinito hasta más infinito y esta función es V_0, q y la escala de longitud a independiente.

La solución es misteriosa para mí. Es decir, podemos deshacernos de$y$y$z$en la integral (para cualquier finito$y$y$z$) por cambio de variables de integración. Entonces la integral se puede resolver (por$x>0$) y la solución es$f(x,y,z)= x/ x = 1$. Bueno, eso es incorrecto (o sutil) ya que eso significaría que solo necesitamos agregar a la solución de imagen habitual una constante$V_0$. Esto no satisface la condición de contorno a grandes distancias del plano donde el potencial es cero.

Tal vez la integral para la función adimensional f(x,y,z) debería regularizarse de alguna manera.

Dado que la imagen es parte de la solución,$V_{image}(grounded)$, se ocupa de la carga en la ecuación de Poisson, podemos encontrar una solución que sea una combinación lineal de$V_{image}(grounded)$y alguna otra función, esta última resuelve la ecuación de Laplace. Entonces deja el límite en$x=L$ser castigado y queremos tomar$L\to \infty$y en x=0 tenemos V_0 (esto parece un truco legítimo). La ecuación de Laplace para este problema da

Por supuesto, si f(x,y,z) es la unidad para cualquier distancia finita x, esto significaría que cambiar de un plano conectado a tierra a uno sin conexión a tierra (en comparación con el potencial cero en el infinito) prácticamente no tiene efecto. Esta hipótesis fue postulada en algunas de las discusiones anteriores.

Si el problema que está tratando de resolver solo contiene una carga puntual y el plano infinito conductor en el potencial V, entonces no hay diferencia física entre el potencial del plano siendo 0 (conectado a tierra) o +V, porque el potencial eléctrico puede cambiar globalmente por un valor constante en todas partes...

Si desea definir V en el infinito como cero y el plano conductor como no conectado a tierra, también puede pensar en la solución como una superposición de dos casos electrostáticos diferentes: tome la expresión de los campos de una sola carga y un plano conectado a tierra, y sume esto con los campos desprendidos por un plano de potencial fijo.

También creo que habría una diferencia entre las dos situaciones. Tomemos un avión PEC sin conexión a tierra y digamos que hay una carga positiva encima de él. El campo creado por la carga inducirá que las cargas negativas se apilen en la parte superior (hacia la carga positiva) del PEC, y dado que no hay creación ni destrucción de carga, la misma carga y la opuesta se inducirán en la superficie inferior de el PEC. De esta forma, tratando el espesor del PEC como infinitamente pequeño, ambas cargas superficiales inducidas se anulan entre sí a grandes distancias, como se ve por la carga positiva. De esta forma, nada cambia con respecto al campo generado alrededor de la carga positiva (ya que la PEC no tiene carga total). Sin embargo, si el PEC está conectado a tierra, actúa como una fuente infinita de cargas que se pueden organizar de cualquier manera, dictadas por las cargas circundantes. Entonces, la carga positiva induce un campo eléctrico en la superficie superior del PEC conectado a tierra, PERO ninguna carga en la superficie inferior, ya que la carga no debe conservarse en esta situación (¡eso es lo que significa tierra!). Entonces nos queda una carga que como líneas de campo eléctrico apunta hacia el PEC, todas formando ángulos rectos con este último. Esta situación es exactamente igual a un dipolo formado por la misma carga positiva y una carga negativa igual situada a igual distancia normal al PEC.

Cuando conectamos a tierra el conductor, lo que estamos haciendo es esencialmente eliminar el efecto de la carga positiva inducida. Pero si no lo ponemos a tierra tenemos que tener en cuenta también la carga positiva inducida.

Podemos decir que el efecto de la carga negativa inducida (solo) es aproximadamente el mismo que cuando el conductor estaba conectado a tierra, por lo que asumimos un$-q$carga a distancia d. de la superficie (en la que se induce la carga -ve). Si asumimos la distribución de carga de$-q$y$+q$para ser simétrico podemos colocar de manera similar$+q$carga a una distancia d de la superficie donde se induce la carga +ve.

Nota: Esto es solo una aproximación.

Estoy respondiendo a la publicación del 13 de mayo de 2021 de Eli Barkai, que es una publicación muy agradable, muchas gracias a Eli por una publicación perspicaz. Y muchas gracias a Alireza por plantear esta bonita pregunta. Mi perspectiva sobre su dilema: el "plano conductor" INFINITAMENTE grande que se extiende hasta el infinito causa complejidad matemática porque a) la carga eléctrica se puede recolectar de un número INFINITAMENTE grande de ubicaciones a lo largo de este plano, que por lo tanto actúa como "conexión a tierra" porque la carga puede ser traído desde infinitamente lejos (pero aún a lo largo del plano), yb) cualquier intento de distribuir uniformemente la carga en el plano hará que el voltaje sea distinto de cero a distancias infinitas del plano.

Por lo tanto, parece que este problema solo puede formularse como 1) un plano conductor no infinitamente grande que no está conectado a tierra y puede modificarse su voltaje, o 2) un plano conductor infinitamente grande que está conectado a tierra y no puede modificarse su voltaje.

Para el caso 1, la lámina conductora grande pero de tamaño finito tendrá la misma distribución de carga de la famosa solución original del "método de la imagen" ADEMÁS, se puede poner a cualquier voltaje adicional al distribuir la carga adicional uniformemente alrededor de su superficie.

Para el caso 2, CUALQUIER intento de modificar el voltaje del plano infinito hará que el voltaje en el infinito sea distinto de cero, invalidando así la descripción del problema.