Método de cargos de imagen [cerrado]

En un intento por comprender el método de las cargas de imagen , intentaré calcular la carga total en un plano conductor conectado a tierra, con dipolo eléctrico y carga puntual.

Dado:

1. Punto de carga$Q$, situado en$(0,0,a)$.
2. Dipolo eléctrico$\vec p = (0,0,p)$, situado en$(0,0,b)$.
3. Plano conductor puesto a tierra e infinito, en$z=0$(paralelo al XYplano)

Mi trabajo

Empleando el método de cargos de imagen:

Obviamente, por lógica, es la carga total del dipolo + la carga$Q$, que equivalen a meramente$Q$(porque el dipolo tiene dos cargas de igual magnitud y signo opuesto).

Traté de encontrar la respuesta,$Q$, matemáticamente, aplicando la ley de Gauss en el plano, teniendo$\vec E \ne 0$sólo en el lado positivo de$z$.

Así que primero traté de encontrar expresiones para el$z$componente del campo eléctrico en un punto muy próximo al plano puesto a tierra:

Campo eléctrico de un dipolo:

$$\vec E (\,\vec r\,) = \frac{ 3(\,\vec p \cdot \hat r \,)\hat r - \vec p }{ 4\pi \epsilon_0 \cdot \lvert \vec{ r\,} \rvert^3 }$$

Mientras$\vec r = (x,y,0) - (0,0,b) = (x,y,-b)$, es$z$componente es:

$$\vec E_{z\,, \,dipole} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \left( \frac{3pb^2}{\sqrt{x^2+y^2+b^2}} - \frac{p}{(x^2+y^2+b^2)^{3/2}} \right)$$

Campo eléctrico de la carga puntual (usando la ley de Coulomb ):

$$E_Q = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{ (x^2+y^2+a^2)^{3/2}} \cdot (x,y,-a)$$

Entonces, por la ley de Gauss, la carga total en el avión es:

$$\begin{align} Q_{in} &= \epsilon_0 \oint_S \vec E d \vec S = \\ &= \epsilon_0 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\infty} \left( \frac{3pb^2}{\sqrt{r^2 + b^2}} - \frac{p}{(r^2 + b^2)^{3/2}} - \frac{a Q}{(r^2+a^2)^{3/2}} \right) r \, dr \, d\theta = \\ &= \frac{1}{4\pi} \cdot 2\pi \left( 3pb^2 \cdot \sqrt{r^2 + b^2} + \frac{p}{\sqrt{r^2 + b^2}} + \frac{a Q}{\sqrt{r^2 + a^2}} \right) \bigg{|}_{r=0}^{\infty} \\ \end{align}$$ Pero como puedes ver, la primera expresión$\left( 3pb^2 \cdot \sqrt{r^2 + b^2} \right)$diverge

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Explique por qué el método de cargos de imagen tiene sentido en este escenario.