Estoy buscando una forma de calcular el potencial en la superficie de dos conductores perfectos que son esferas. No estoy seguro de que mi método sea correcto.

Aquí hay un diagrama de lo que estoy estudiando:

Ambos tienen un radio (respectivamente$R_1$y$R_2$) y están separados por una distancia$D$.

Supongo que tienen cargos respectivamente.$Q1$y$Q2$.

Usando el método de las imágenes tenemos las cargas de imagen dentro de las esferas:

• $Q_1$tiene una imagen$q'_1$situado en$O_2 - ( \frac{R_2^2}{D} )$con$q'_1 = Q1 \frac{-R_2}{D}$
• $Q_2$tiene una imagen$q'_2$situado en$O_1 + ( \frac{R_1^2}{D} )$con$q'_2 = Q1 \frac{-R_1}{D}$

Estas imágenes también tienen cargas de imágenes en la otra esfera:

• $q'_1$tiene una imagen$q''_1$situado en$O_1 + ( \frac{R_1^2}{distance(q'_1, O_1)} )$con$q''_1 = q'_1 \frac{-R_1}{distance(q'_1, O_1)}$
• $q'_2$tiene una imagen$q''_2$situado en$O_2 - ( \frac{R_2^2}{distance(q'_2, O_2)} )$con$q''_2 = q'_2 \frac{-R_2}{distance(q'_2, O_2)}$

Podemos seguir hasta que converja

Para conservar las cargas en la superficie de las esferas$Q_1$y$Q_2$debemos colocar una carga en el centro de las esferas igual a :

• $Q_1-q'_2 - q''_1 - ...$en el centro de$O_1$

• $Q_2-q'_1 - q''_2 - ...$en el centro de$O_2$

El potencial de este escenario en cualquier punto es:

$V(M) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{Q_1-q'_2 - q''_1}{d(M,O_1)} +\frac{Q_2-q'_1 - q''_2}{d(M,O_2)}+ \frac{q'_2}{d(M,q'_2)} + \frac{q'_1}{d(M,q'_1)} + \frac{q''_2}{d(M,q''_2)} + \frac{q''_1}{d(M,q''_1)}) + ...$

Esto se puede hacer para cualquier número de imágenes usando un script de computadora (python)

¿La forma correcta de calcular el potencial de las esferas es tomar la fórmula anterior y aplicarla a un punto en la superficie de las esferas?

Comparación de resultados analíticos y numéricos (Editar)

Configuré la serie convergente en un script de Python, luego comparé los resultados para diferentes radios de los electrodos con un cálculo numérico usando Comsol Myltiphysics.

Aquí están los resultados :

La distancia entre los electrodos es de 2 m. La carga$Q_1 = 1 C$y$Q_2 = 0 C$. Luego calculé el potencial en la superficie del primer electrodo.

Para radios pequeños, los dos métodos dan resultados muy similares, pero cuando el radio aumenta, los resultados divergen. Y está la pequeña gota al final que también me molesta. Esto parece indicar que me estoy olvidando de algo pero no puedo ver qué.

Convergencia (Segunda edición)

Como podemos ver, tarda más en converger con un radio mayor que uno más pequeño.