Cubo conductor interior potencial

Question

Cubo conductor interior potencial

Julio Verne

Una caja cúbica con lados de longitud L consta de seis placas de metal. Cinco lados de la caja { las placas en $x=0, x=L, y=0, y=L, z=0$ - están conectados a tierra. La parte superior de la caja (en z = L) está hecha de una hoja de metal separada, aislada de las demás y mantenida a un potencial constante. $V_0$ . Encuentra el potencial dentro de la caja.

Estoy intentando configurar este problema con polinomios de Legendre. Dado que la parte superior está conectada a tierra, esto afecta la región "potencial" que puedo tomar, y no tengo claro cómo configurarlo.

He configurado el Laplace de la siguiente manera:

$1\over x$ ${d^2x\over dx^2} +$ $1\over y$ ${d^2y\over dy^2} +$ $1\over z$ ${d^2z\over dz^2} = 0$

¿En cuál en este punto, cada componente debe ser igual a una constante?

lo que da $k_x^2+k_y^2+k_z^2 = 0$

$1\over x$ ${d^2x\over dx^2} = k_x^2$

$1\over y$ ${d^2y\over dy^2} = k_y^2$

$1\over z$ ${d^2z\over dz^2} = k_z^2$

donde z viene dado por: $Z(z) = sinh(k_zz)$

pero en este punto, ¿cómo resuelvo los coeficientes?

O debería estar usando la forma general y encontrar coeficientes:

$x = Acos(k\theta) + Bsin(k\theta)$

$y = Ccos(m\phi) + Dsin(m\phi)$

$z = Ee^{(k^2 +m^2)^.5z}$ + $Fe^{-(k^2 +m^2)^.5z}$

Estoy atascado en encontrar los coeficientes usando este método.

Respuestas (3)

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gurú · Answer 1

Este es un problema bastante simple. Estos problemas se abordan mejor utilizando el enfoque ansatz, lo que significa tratar de adivinar la forma que tomará la solución, y si su suposición de la solución satisface tanto la ecuación de Laplace como las condiciones de contorno, entonces el teorema de unicidad garantiza que ha encontrado LA solución. Ahora, con respecto a su problema, las condiciones de contorno cero para x e y recuerdan a las ondas estacionarias con nodos en ambos extremos. Entonces podemos adivinar que las dependencias x e y son $sin\frac{m \pi x}{L}$ y $sin\frac{n \pi y}{L}$ respectivamente. Tu declaración $k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = 0$ no se ve bien ya que la suma de tres números reales positivos. no puede ser cero. Más bien, tendrías

- (\frac{metro π}{L})^{2} - (\frac{norte π}{L})^{2} + A_{z} = 0

$-(\frac{m \pi}{L})^2 - (\frac{n \pi}{L})^2 + A_z = 0$ . Como el signo de la constante en las ecuaciones para '

X

$X$ ' y '

Y

$Y$ ' son negativas, la constante para el '

Z

$Z$ La ecuación diferencial sería automáticamente positiva. Esto a su vez indicaría funciones hiperbólicas de seno o coseno ya que estas funciones son las soluciones a la ecuación diferencial con valor positivo para el coeficiente. La condición de contorno de cero en

z = 0

$z=0$ indica que solo la función de seno hiperbólico jugará un papel. La solución completa estaría dada por

ϕ (X, y, z) = \sum_{metro, norte = 1}^{\infty} C_{metro, norte} s i norte \frac{metro π X}{L} s i norte \frac{norte π y}{L} s i norte h \frac{\sqrt{(} {metro}^{2} + {norte}^{2}) π z}{L}

$\phi(x,y,z) = \sum_{m,n = 1}^\infty C_{m,n} sin\frac{m \pi x}{L} sin\frac{n \pi y}{L} sinh \frac{\sqrt(m^2+n^2) \pi z}{L}$ . los coeficientes

C_{m, n}

$C_{m,n}$ puede determinarse aplicando la condición de contorno en

z = L

$z = L$ y usando las relaciones de ortogonalidad para las funciones seno.

neutrino · Answer 2

Tienes que resolver la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno dadas. En coordenadas cartesianas, la solución tiene la forma V = X(x)Y(y)Z(z).

joshfísica · Answer 3

Los pasos básicos:

escribir el potencial $V(x,y,z)$ como una serie en productos de funciones ortogonales apropiadas. A menudo se utilizan funciones ortogonales que surgen de la solución de la ecuación de Laplace por separación de variables.
Imponga las condiciones de contorno (hay seis de ellas) para resolver los coeficientes en la expansión de la serie. por ejemplo, el $z=L$ la condición de contorno sería
$V (X, y, L) = V_{0}$ $V(x,y,L) = V_0$ Todos los lados "conectados a tierra" tienen potencial cero; esta es solo la definición matemática del término "conectado a tierra". Así, por ejemplo, en $z=0$ tendrías $V (X, y, 0) = 0$ $V(x,y,0) = 0$

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